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Breviario de c´ alculo vectorial

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Ap´

endice A

Breviario de c´

alculo vectorial

Alberto Carrami˜

nana, 14 de septiembre de 2018

Este ap´

endice es un resumen b´

asico de definiciones y f´

ormulas ´

utiles basado

en secciones de los libros citados en las referencias al final. Los temas son:

A.1. La funci´

on delta de Dirac; A.2. Productos entre vectores;

A.3. Diferenciaci´

on sobre curvas y superficies;

A.4. Campos vectoriales;

A.5. Integraci´

on;

A.6. Sistemas de coordenadas.

A.1.

La funci´

on delta de Dirac

La funci´

on δ de Dirac permite definir entidades discretas de manera ma-

tem´

aticamente formal. Se puede definir de varias maneras, en particular

asign´

andole las propiedades,

δ(x) =

(

0

para

x 6= 0 ,

+∞

para

x = 0 ,

Z

+∞

−∞

f (x)δ(x)dx = f (0) .

(A.1)

En particular

R

+∞

−∞

δ(x)dx = 1. Una manera alternativa de definir la funci´

on

δ es como el l´ımite de una gaussiana, g(x) = (2πσ

2

)

−1/2

exp{−x

2

/2σ

2

}, para

σ → 0. Esta es una gaussiana infinitamente angosta con valor divergente en

x = 0, manteniendo su normalizaci´

on.

La funci´

on delta puede generalizarse mediante translaciones

δ(x − a) =

(

0

para

x 6= a ,

+∞

para

x = a ,

Z

+∞

−∞

f (x)δ(x − a)dx = f (a) , (A.2)

y a un n´

umero arbitrario de dimensiones,

δ(~

r − ~

r

0

) = δ(x − x

0

)δ(y − y

0

)δ(z − z

0

) ,

(A.3)

1



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