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Cálculo de Derivadas Sean a, b y k constantes (números reales) y consideremos a: u y V como funciones

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Cálculo de Derivadas  

Sean  a,  b  y  k  constantes  (números  reales)  y  consideremos  a:  u  y  v  como 

funciones. 

Derivada de una constante 

 

Derivada de x 

 

Derivada de la función lineal 

 

Derivada de una potencia 

 

Derivada de una raíz cuadrada 

 

Derivada de una raíz 

 

Ejemplos de derivadas 

                   

 

                

 

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Derivadas de sumas, productos y cocientes  

 

Derivada de una suma 

 

Derivada de una constante por una función 

 


 

Derivada de un producto 

 

Derivada de una constante partida por una función 

 

Derivada de un cociente 

 

Ejemplos de derivadas con operaciones de funciones 

                                            

 

                            

 

                  

 

         

 

              

 

         

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

Derivadas exponenciales 

Derivada de la función exponencial 

 

Derivada de la función exponencial de base e 

 

Ejemplos de derivadas exponenciales 

      

 

 

 

   

 

 

 

 


 

 

 

 

Derivada de logarítmos  

Derivada de un logaritmo  

 

 

Como, 

también se puede expresar así: 

 

Derivada de un logaritmo neperiano 

 

Ejemplos de derivadas de logarítmos 

 

 

 

 


 

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos: 

 

 

 

Aplicando las propiedades de los logaritmos tenemos: 

 

 

 

 

 

 

 

Derivadas trigonométricas 

Derivada del seno 

 


 

Derivada del coseno 

 

Derivada de la tangente 

 

Derivada de la cotangente 

 

Derivada de la secante 

 

Derivada de la cosecante 

 

Ejemplos de derivadas trigonométricas 

    

 

   

 

   

 

        

 

        

 

 


 

 

 

         

 

      

 

 

 

  

 

   

 

Derivadas trigonométricas inversas 

Derivada del arcoseno 

 

Derivada del arcocoseno 

 


 

Derivada del arcotangente 

 

Derivada del arcocotangente 

 

Derivada del arcosecante 

 

Derivada del arcocosecante 

 

Ejemplos de derivadas trigonométricas inversas 

 

 

 

 

 

 

 


10 

 

Derivada de la función compuesta 

Regla de la cadena 

 

Ejemplos de derivadas de funciones compuestas 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


11 

 

 

 

Derivada de la función inversa 

Si f y g son funciones inversas, es decir 

. Entonces 

 

Ejemplos de derivadas de funciones inversas

 

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc sen x  

 

 

Derivar, usando la derivada de la función inversa: y = arc tg x  

 

 

Derivada de la función potencial-exponencial 

Estas funciones son del tipo: 

 

Para derivarla se puede utilizar esta fórmula: 

 

O bien tomamos logaritmos y derivamos: 


12 

 

.

 

.

 

.

 

.

 

.

 

Ejemplos de derivadas de funciones potenciales-exponenciales 

 

Derivar tomando logaritmos: 

.

 

.

 

.

 

.

 

Derivadas sucesivas  

Si derivamos la derivada de una función, derivada primera, obtenemos una nueva 

función que se llama derivada segunda, f''(x)

Si volvemos a derivar obtenemos la derivada tercera, f'''(x)

Si derivamos otra vez obtenemos la cuarta derivada f'

v

 y así sucesivamente. 

Ejemplo: 

Calcula las derivadas 1ª, 2ª, 3ª y 4ª de: 


13 

 

 

 

 

 

 

Derivada enésima 

En algunos casos, podemos encontrar una fórmula general para cualquiera de las 

derivadas  sucesivas  (y  para  todas  ellas).  Esta  fórmula  recibe  el  nombre  de  derivada 

enésima, f'

n

(x)

Ejemplo: 

Calcula la derivada enésima de: 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


14 

 

Derivación implícita 

Funciones implícitas 

Una  correspondencia  o  una  función  está  definida  en  forma  implícita  cuando  no 

aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación 

de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero

Derivadas de funciones implícitas 

Para  hallar  la  derivada  en  forma  implícita  no  es  necesario  despejar  y.  Basta 

derivar  miembro  a  miembro,  utilizando  las  reglas  vistas  hasta  ahora  y  teniendo 

presente que: 

x'=1.  

En general y'≠1.  

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'

Ejemplos: 

 

 

 

 

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el 

cálculo: 

 

  


15 

 

  

Diferencial de una función 

Sea  f(x)  una  función  derivable.  Diferencial  de  una  función  correspondiente  al 

incremento  h  de  la  variable  independiente,  es  el  producto  f'(x)  ·  h.  Se  representa 

por dy

 

 

 

 

La  diferencial  en  un  punto  representa  el  incremento  de  la  ordenada  de  la 

tangente, correspondiente a un incremento de la variable. 

Ejemplo: 

Calcular la diferencial de las funciones: 

 

 


16 

 

 

 

Calcular el incremento del área del cuadrado de 2 m de lado, cuando aumentamos 

1mm su lado. 

S = x 

dS = 2x dx 

d(S)= 2·2· 0.001 = 

0.004 m

2

 

 

 


17 

 

Tabla de derivadas de funciones compuestas 

Función 

Derivada 

Ejemplos 

Constante 

 

y=k 

y'=0 

y=8 

y'=0 

Identidad 

 

y=x 

y'=1 

y=x 

y'=1 

Funciones potenciales 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


18 

 

Funciones exponenciales 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funciones logarítmicas 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Funciones trigonométricas 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


19 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



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