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Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas

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Tema No. 14. Derivación de funciones implícitas.



Una función real de variable real es implícita cuando en su regla de correspondencia ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. Al derivar funciones implícitas, es común aplicar la regla de la cadena. El procedimiento para esta derivación se puede consultar en el libro de texto y en el formulario o prontuario.



Ejemplo: Mediante derivación implícita, obtenga la derivada con respecto a x de la función

Derivando con respecto a x

)=



Aquí se debe tener en cuenta que para derivar los términos y se debe aplicar el teorema de la derivada de un producto.





Calculando las derivadas y representando por y ´ la derivada de y con respecto a x.

Reordenando y como se desea obtener el valor de y´, los términos que contiene a y´ se agrupan en el primer miembro, factorizando los términos

Despejando y’, se tiene la derivada de la función con respecto a x.



Ejercicios: Derive implícitamente con respecto a x las siguientes funciones

  1. R:



















Tema No.15. Ecuación de las rectas tangente y normal a una curva.



Una de las aplicaciones de la derivada, que tiene una utilidad inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva. Mediante la derivada se obtiene la pendiente y se aplican las ecuaciones de la geometría analítica para rectas

Ejemplo: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto de abscisa x=0.

La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=0 en la ecuación de la curva.

Entonces el punto de tangencia es P (0,3).

La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la función es:

El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es:

Aplicando los valores anteriores en la ecuación de recta conociendo un punto y la pendiente, para obtener la ecuación de la tangente:

La ecuación de la normal es:

Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta tangente, esto es:

101º

Se obtiene el ángulo de inclinación de la recta normal sumando 90° al ángulo de la recta tangente, esto es:


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