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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial

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Ejercicios: Obtenga la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto indicado, graficando en cada caso la curva y ambas rectas en el mismo plano.
  1. R: 2x-y-4=0, x+2y+3=0







  1. Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva , con ángulo de inclinación de 135°.



  1. en x=-2 R: 4x-y+8=0, x+4y+2=0

Tema No. 16 Máximos y mínimos de una función.



La principal utilidad al obtener los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente es para realizar un esbozo general de la gráfica de la función, sin embargo, en problemas de aplicación el objetivo principal es determinar los valores máximos o mínimos que optimicen el problema.



Para determinar los puntos máximos y mínimos de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el procedimiento que marca el libro de texto utilizando el criterio de la primera y segunda derivada.



Ejemplo: Obtenga los puntos máximos y mínimos de la función

, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.

Derivando la función

Igualando con cero la primera derivada



Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa de los puntos críticos

x-3=0 x+1=0

x=3 y x=-1

Calculando la segunda derivada de la función

Valuando la segunda derivada en los puntos críticos.

X


-1

6(-1)-6=-12

3

6(3)-6=12



Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de sus ordenadas

x


-1

-9(-1)+3= 8

Entonces se tiene un máximo en (-1,8)

3

Entonces se tiene un mínimo en (3,-24)



A partir de estos datos, se determinan los intervalos donde la función es creciente o decreciente, es importante tener en cuenta que estos mismos intervalos también es posible obtenerlos mediante la primera derivada de la función.

La función es creciente en: y en (3,)

La función es decreciente en:

Se deja al estudiante el trazo de la gráfica.


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