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Cuaderno de ejercicios de Cálculo Diferencial

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Ejercicios: Trace la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente.



  1. R: D









  1. R: C(

























Tema No. 17. Problemas de aplicación de máximos y mínimos.

Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento.

La aplicación principal de este tipo de problemas se presenta en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero en el libro de texto se hacen algunas recomendaciones que el estudiante puede consultar.

Por problema práctico entendemos un problema que puede surgir en la vida cotidiana. Tales problemas en raras ocasiones tienen puntos singulares; por lo regular en éstos los valores máximos y mínimos se presentan en puntos estacionarios, aunque también deberán comprobarse los puntos frontera.



Ejemplo: Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación , donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de ésta.

En este caso la función objetivo a maximizar es



Derivando la altura con respecto al tiempo, igualando a cero y resolviendo la ecuación

Por lo tanto el punto crítico se presenta cuando t=4

La segunda derivada es

En el punto crítico entonces en t= 4 la función presenta un máximo. Sustituyendo t en h se obtiene 4)2 +8(4)-13 =3, por lo tanto el proyectil tarda 4 segundos en alcanzar la altura máxima que es de 3 metros.




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