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definiciones: Conjunto: Término básico no definido. Concepto intuitivo

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Libro: “De la Lógica a las funciones”

Autores: Claudia Cardazo, Rocío Elejalde y Guillermo López

Capítulo 2



CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE TEORÍA DE CONJUNTOS



2.1 DEFINICIONES:


2.1.1 Conjunto: Término básico no definido.

Concepto intuitivo: Lista, colección o clase de objetos, bien definidos.

Notación: por letras mayúsculas. Sus elementos por letras minúsculas.

Se puede definir :

Por extensión (o forma tabular): se enumera cada uno de los elementos del conjunto.

Ejemplo: A = {-2,1,3,4}


Por comprensión (o forma constructiva): cuando se enuncia una propiedad que

deben tener sus elementos.

Ejemplo: B = {x/x es número racional}

C = {x/x = 2n-1 + 1, nN}


      1. Relación de pertenencia: Para indicar que un elemento pertenece o no a un

conjunto se utiliza los signos y respectivamente.


2.1.3 Conjuntos numerables y no numerables: Un conjunto es numerable si consta de un cierto número de elementos distintos donde el proceso de contar puede acabar, si no acaban el conjunto es no numerable.


      1. Conjunto vacío: Carece de elementos. Se denota por el símbolo ó { } y se

representa por


      1. Conjunto unitario: Es el que tiene un solo elemento.


      1. Conjunto universal: Es un conjunto que contiene todos los conjuntos que

se están tratando, (también se le conoce como Referencial).

Símbolo: U y se representa por U = {x/x A x A; siendo A cualquier conjunto}


      1. Igualdad de conjuntos: Dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los

mismos elementos. Es decir, A es igual a B si cada elemento que pertenece a A pertenece también a B y si cada elemento que pertenece a B pertenece también a A.

Se denota la igualdad de los conjuntos A y B por A = B.


      1. Subconjunto: sean A y B dos conjuntos. Se dice que A es un subconjunto de

B, (A B), si y solo si todo elemento de A es también elemento de B.

: símbolo de subconjunto o contenencia, inclusión.

Simbólicamente:

se lee A es un subconjunto de B o

B es un superconjunto de A

se lee A no es un subconjunto de B o

B no es un superconjunto de A

Propiedades de la inclusión:

i) El conjunto vacío, , se considera subconjunto de

todo conjunto.

ii)Si A no es subconjunto de B, es decir, ;

entonces hay por lo menos un elemento de A que no

es elemento de B.

iii)Todo conjunto es subconjunto de si mismo, es

decir, si A es cualquier conjunto entonces

Demostrar las propiedades anteriores.

Teorema: si y implica que

(Demostrarlo).

Notas: 1) Con la definición de subconjunto se puede dar

de otra forma la definición de la igualdad de

conjuntos; así:

Dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si y

sólo si y .

Simbólicamente:

2) La igualdad de conjuntos es una relación de

equivalencia. (¿Por qué?)

      1. Subconjunto propio: Ya que todo conjunto A es subconjunto de si mismo,

se dice que B es un subconjunto propio de A, si:

i) B es un subconjunto de A, y

ii) B no es igual a A

Es decir, B es subconjunto propio de A si:

y

En algunos textos “B es subconjunto de A” se denota por , y “B es subconjunto propio de A”, se denota por


2.1.10 Comparabilidad: Dos conjuntos A y B son comparables si o , es

decir, si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.

Simbólicamente:

A y B son comparables

Dos conjuntos A y B se dicen no comparables si


2.1.11 Familia de conjuntos: Es el conjunto formado por elementos que son conjuntos.

Para designar familias o clases de conjuntos se emplean letras inglesas:

A, B, C, D, E, ....

Ya que las mayúsculas denotan sus elementos.


2.1.12 Conjunto potencia: Se define el conjunto potencia o conjunto de partes de un

conjunto dado A como el conjunto de todos los subconjuntos de A. Se representa como P (A).

Con:

n(A): número de elementos de A.

n[P (A)]: números de elementos de P (A).



2.1.13 Conjuntos disjuntos: Dos conjuntos A y B son disjuntos si y sólo si

no tienen elementos comunes.



2.1.14 Diagramas:



Venn-Euler: Se representa un conjunto mediante un área plana, generalmente

círculos.




Ejemplo:

A


B B A









Lineales:



Se establece la representación mediante líneas donde se identifican órdenes jerárquicos.





Ejemplo:

1) A B Se representa:











2) Si A B y B C, entonces se representa:












3) Sean los conjuntos:


A = {1}; B = {1, 2}; C = {1, 2, 3}; D = {1, 2, 4}

Su representación lineal sería:















2.2 OPERACIONES FUNDAMENTALES CON CONJUNTOS


2.2.1 Unión:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x A v x B”, entonces se obtiene un nuevo conjunto llamado la unión de A y B, es decir:

A U B = {x/x A v x B}

Representación:

A) Simbólica: x (A U B) x A v x B


B) Gráfica:


A B



A U B



Propiedades:

1. Idempotencia: A U A = A

2. Identidad: A U = A ; A U U = U

3. Conmutativa: A U B = B U A

4. Asociativa: A U (B U C) = (A U B) U C

5. Adición: A (A U B) ; B (A U B)


2.2.2 Intersección:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica la función proposicional “x A x B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la intersección de A con B, es decir:

A B = {x/x A x B}


Representación:

A) Simbólica: x (A B) x A x B


B) Gráfica:

A B



A B




Propiedades:

1. Idempotencia: A A = A

2. Identidad: A = ; A U = A

3. Conmutativa: A B = B A

4. Asociativa: A (B C) = (A B) C

5. Distributiva: a) A (B U C) = (A B) U (A C)

b) A U (B C) = (A U B) (A U C)

6. (A B) A ; (A B) B

7. Si A y B son disjuntos entonces A B =

2.2.3 Complemento:

El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A.

El complemento de A se denota por A’, o por Ac, o por Ā

A’ = {x/x A}



Representación:

A) Simbólica: x A’ x A (x A)


B) Gráfica:



A A’




Propiedades:

1. (A’)’ = A (Complemento del complemento)

2. A U A’ = U (Tercer excluido)

3. A A’ = (Contradicción)

4. (A U B)’ = A’ B’ (Leyes de De Morgan)

(A B)’ = A’ U B’

5. U’ = ; ’ = U


2.2.4 Diferencia:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional “x A x B”, se obtiene un nuevo conjunto llamado diferencia entre A y B.

Notación: La diferencia entre A y B se designa por A – B.

A – B = {x/x A x B}

Representación:

A) Simbólica: x (A – B) x A x B




B) Gráfica:

A B


A - B






Propiedades:

1. A – B = A B’

2. A – A =

3. A - = A

4. - A = , U – A = A’

5. A – B = B - A A = B

6. (A - B) - C A - (B - C)

7. (A - B) A


NOTA: A-B B-A (No cumple con la propiedad conmutativa excepto cuando A=B).


2.2.5 Diferencia simétrica:

Sean A y B dos conjuntos construidos a partir de U. Si sobre U se aplica una función proposicional “x (AB) x (AB)”, se obtiene un nuevo conjunto llamado la diferencia simétrica entre A y B.

Notación: Se designa la diferencia simétrica entre los conjuntos A y B por A B.

A B={x/x (AB) x (AB)}


Representación:


A. Simbólica:

x(A B) x(AB) x (AB)


B. Gráfica:

A B


A B





Propiedades:

1. AB BA

2. (AB)C = A (BC)

3. A = A

4. AA =

5. (AB)C = (AC) (BC)

6. AB = (A-B)U (B-A)

7. AB = (A U B)-(AB)


2.2.6 Operaciones con conjuntos comparables:

Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedades sencillas cuando los conjuntos de que se trata son comparables.




Teoremas:

1. A B implica A B = A

2. A B implica A U B = B

3. A B implica B’ A’

A B implica A U (B - A) = B



Nota: 1. Probar los anteriores teoremas (mediante gráficas).

2. Demostrar dichos teoremas (justificando cada paso).



2.2.8 Principio de dualidad en B, U :



Toda proposición o identidad algebraica deducible de los postulados de un álgebra booleana de conjuntos B, U sigue válida sí todas las operaciones U e y los elementos identidad y U son intercambiados.


Si una proposición o una expresión se obtiene de otra por una sola aplicación del principio de dualidad, la segunda se llama la “DUAL” de la primera y viceversa.



Ejemplos:

1. (a) A U A = A (b) A A = A (Dual de (a)).

2. (a) A U U = U (b) A = (Dual de (a)).

3. (a) A U (A B) = A (b) A (A U B) = A (Dual de (a)).



Nota: Hallar expresiones que cumplan con el principio de dualidad.





2.3 NÚMERO DE ELEMENTOS DE UN CONJUNTO



Si A es un conjunto, se denota con n(A) el número de elementos de A.

Sea V = {x/x es vocal} ; n(V) = 5.

Sea P = {x/x es # primo par} ; n(P) = 1.

Sea N = {x/x es divisor de 5} ; n(N) = 2.

Entonces podemos analizar dos casos:

A) Si se dan conjuntos A y B disjuntos, es decir, A B = , entonces el número de elementos en la unión de A y B es igual a la suma del número de elementos de A y el número de elementos de B.


Luego: Si A B = entonces n(A U B) = n(A) + n(B).


Ejemplo:


Sea A = {a, b, c, d} y B = {m, n, o, p, q} entonces:

n(A) = 4 ; n(B) = 5 ; A B =

A U B = {a, b, c, d, m, n, o, p, q}

n(A U B) = n(A) + n(B) = 4 +5 = 9.


B) Si se dan dos conjuntos A y B tales que A B , es decir, no son disjuntos. Se puede obtener el número de elementos de A U B de la siguiente forma:

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B) (*)


Ejemplo.

Sean A = {x/ -3 < x < 4, x Z} y B = {x/ 2 x 6, x Z}

Entonces: n(A) = 6 ; n(B) = 5 y A B = {2, 3}

n(A B ) = 2 A U B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}; n(A U B) = 9.


Aplicando (*) tenemos: como

n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)

n(A U B) = 6 + 5 - 2 = 9 .

Si A B = entonces n(A B) = 0, puede entonces generalizarse:


A, B; n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A B)


Nota: Es posible derivar fórmulas para el número de elementos de un conjunto formado por la unión de más de dos conjuntos.

Para tres conjuntos:

n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)


OBSERVACIÓN: Las anteriores fórmulas tienen demostración formal.


Ejemplo:


Un alumno de la facultad, efectúa una encuesta sobre un grupo de 100 estudiantes, acerca de los hábitos de estudio en la Biblioteca de Ingeniería y aporta los siguientes datos:

  • Estudian trigonometría: 40

  • Estudian álgebra: 55

  • Estudian geometría: 55

  • Estudian trigonometría y álgebra: 15

  • Estudian trigonometría y geometría: 20

  • Estudian álgebra y geometría: 30

  • Estudian las tres materias: 10

  • No van a la biblioteca: 5


¿Puede asegurarse que la encuesta realizada es correcta?

Desarrollo:

Sean T = {x/x estudia trigonometría}

A = {x/x estudia álgebra}

G = {x/x estudia geometría}


Observación: Para desarrollar esta clase de ejercicios se recomienda:

A) “Dibujar” el diagrama de Venn y ubicar los datos dados.

B) Se debe iniciar por aquel que puede señalarse con certeza.

C) Una vez que el diagrama se completa, se puede leer el número de estudiantes que estudia cualquier combinación de materias.



Gráficamente:


T A

15 5 20

10

10 20


15 G

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