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TEMA II: ANALISIS

DERIVADAS


Definición de derivada: La derivada de la función  f  en el punto  x=a, llamada f prima de a se denota por f’(a), si existe, es el valor del limite:


Si   f’(a)  es un número real, la función   f  es derivable en x=a. Si  f’(a)  no es un número real o el límite no existe, la función  f  no es derivable en dicho punto.


Ejemplo: Calcular la derivada de   f(x)=x2  en  x=2:




Tasa de variación media: Supongamos que un coche de formula uno se mueve en una carretera totalmente recta. A distintas distancias de la salida se registran los tiempos de paso, obteniéndose la siguiente tabla:

En este caso, la posición y, se puede ver como una función f, que depende del tiempo x; es decir y=f(x).


La tasa de variación media de la posición en el intervalo de tiempo desde el instante 9 al instante 13.4  es:

En general, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a;b]  se define como el cociente:

Esta tasa puede ser positiva (creciente), negativa (decreciente) o nula (constante).


La tasa de variación instantánea de la función f en el punto x=a  se obtiene, haciendo tender el punto b  al punto a,  en la tasa de variación media de la función  f  en el intervalo  [a;b]; por tanto, la tasa de variación instantánea de la función f en el punto  x=a  es

que es precisamente la derivada de la función f  en el punto x=a. (en este límite consideramos b=a+h)


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