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An´alisis Exploratorio de Datos

Grado en Estad´ıstica y Empresa - 2012/2013

1.

MANEJO DE SUMATORIOS. PROPIEDADES Y EJERCICIOS.

El sumatorio (o sumatoria) es un operador matem´

atico, representado por la letra griega sigma

may´

uscula (Σ) que permite representar de manera abreviada sumas con muchos sumandos, con un

umero indeterminado (representado por alguna letra) de ellos, o incluso con infinitos sumandos.

Los sumandos de un sumatorio se expresan generalmente como una variable (habitualmente x, y, z, . . .)

cuyos valores dependen de un ´ındice (habitualmente i, j, k . . .) que toma valores enteros. El ´ındice

empieza tomando el valor que aparece en la parte inferior del sumatorio y se va incrementando en

una unidad

hasta llegar al valor que aparece en la parte superior del sumatorio. As´ı por ejemplo,

3

X

i

=1

x

i

= x

1

+ x

2

+ x

3

representa la suma de los valores de la variable x desde el primero hasta el tercero. En general,

n

X

i

=1

x

i

= x

1

+ x

2

+ . . . + x

n−1

+ x

n

representa la suma de los primeros n valores de la variable x. La expresi´

on anterior se lee: “sumatorio

de x sub-i desde i igual a 1 hasta n”.

El ´ındice del sumatorio puede tomar cualquier conjunto de n´

umeros enteros, es decir, no tiene por-

qu´e empezar en 1, (aunque en las expresiones que aparecen a continuaci´

on casi siempre sea as´ı para

simplificar la notaci´

on). La ´

unica condici´

on que se tiene que cumplir es que el primer valor del ´ındice,

el que aparece abajo, sea menor o igual que el ´

ultimo valor del ´ındice, el que aparece arriba. Es decir,

en la suma

P

n

i

=k

x

i

k

tiene que ser menor o igual que n para que la suma tenga sentido. Si k fuera

mayor que n, por ejemplo, k = 5 y n = 3, estar´ıamos sumando los de x empezando en 5 hasta llegar a

3, es decir, no estar´ıamos sumando nada, y la suma ser´ıa igual a cero. Si queremos sumar los valores

de x desde 3 hasta 5, deberemos tomar n = 5 y k = 3, es decir, hacer

P

5

i

=3

x

i

.

1.1.

Propiedades.

El sumatorio es simplemente una manera abreviada de representar una suma, y por lo tanto, cumple

todas las propiedades de ´esta:

Propiedad conmutativa:

n

X

i

=1

(x

i

+ y

i

) = x

1

+ y

1

+ x

2

+ y

2

+ . . . + x

n

+ y

n

= y

1

+ x

1

+ y

2

+ x

2

+ . . . + y

n

+ x

n

=

n

X

i

=1

(y

i

+ x

i

)

Propiedad asociativa:

n

X

i

=1

(x

i

+ y

i

) +

n

X

i

=1

z

i

= x

1

+ y

1

+ x

2

+ y

2

+ . . . + x

n

+ y

n

+ z

1

+ z

2

+ . . . + z

n

= x

1

+ x

2

+ . . . + x

n

+ y

1

+ z

1

+ y

2

+ z

2

+ . . . + y

n

+ z

n

=

n

X

i

=1

x

i

+

n

X

i

=1

(y

i

+ z

i

) =

n

X

i

=1

(x

i

+ y

i

+ z

i

)

1



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