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Formulario

—Astron´autica, 2008/2009

Problema de los dos cuerpos

Ecuaci´on diferencial: ¨

~= −µ

~r

r

3

, donde µ

≈ Gm. Soluci´on (c´onica): =

p

1

cos

θ

, donde e=excentricidad, p

=

h

2

µ

par´ametro,

θ

=anomal´ıa verdadera. Energ´ıa espec´ıfica:

ε

=

v

2

2

µ

r

. Adem´as

ε

= −

µ

2a

. Momento angular espec´ıfico:~h

=~×~vvr cos

γ

,

donde

γ

(´angulo de trayectoria) verifica tan

γ

=

sen

θ

1

cos

θ

. Tercera ley de Kepler: Periodo T

= 2

π

s

a

3

µ

. Velocidad areolar ˙

A

r

2

˙

θ

/2 = h/2.

Ecuaci´on de las fuerzas vivas: v

=

r 2µ

r

µ

a

. Velocidad circular v

c

=

µ

r

. Velocidad de escape v

e

=

r 2µ

r

.

~=

~×~h

µ

~r

r

C´onicas

b

a

p

c

r

θ

O

x

y

r

p

r

a

p

r

θ

O

x

y

r

p

-b

-c

p

-a

r

θ

O

x

y

r

p

θ

δ

periapsis

F

r

?





7

ELIPSE (0

< 1):

p

a(1 − e

2

), a

1

− e

2

c

aea

2

b

2

c

2

Radio de periapsis y apoapsis: r

p

=

p

1

e

a(1 − e), r

a

=

p

1

− e

a(1 + e).

PAR ´

ABOLA (e

= 1):

r

p

=

p

2

a

r

a

=

.

γ

=

theta

2

HIP ´

ERBOLA (e

> 1):

p

a(1 − e

2

), a

e

2

− 1, aec

2

b

2

a

2

.

r

p

=

p

1

e

a(1 − e). As´ıntotas:

δ

= 2 sen

−1

 1

e



,

θ

= cos

−1



1

e



.

Leyes Horarias

ELIPSE: tan



θ

2



=

r 1 + e

1

− e

tan

E

2



E=anomal´ıa exc´entrica. Ecuaci´on de Kepler:M

− esenE.

M

n

tM=anomal´ıa media, n

=

µ

a

3

velocidad orbital media,

t=tiempo desde periapsis.

M´etodo Newton: E

k

+1

E

k

f

(E

k

)

f

(E

k

)

donde f

(E) = − esenE. Recurrencia: E

k

+1

+ sen E

k

.

PAR ´

ABOLA: B

= 3

r

µ

p

3

t. 2B

= 3 tan



θ

2



+ tan

3



θ

2



. tan



θ

2



1

z

z

=

3

p

B

+

B

2

+ 1.

HIP ´

ERBOLA:tan



θ

2



=

r 1 + e

e

− 1

tanh

H

2



H=anomal´ıa hiperb ´olica. N

senh − H.

N=anomal´ıa hiperb ´olica media. N

n

tn

=

r

µ

a

3

.

Elementos Orbitales Cl´asicos

En la figura:

=ascensi´on recta del nodo ascendente (RAAN),

ω

=argumento de periapsis,

i=inclinaci´on,

θ

=anomal´ıa verdadera. Adem´as: e

a. Si = 0 →

ω

,

θ

indefinidos: u

=

ω

+

θ

.

Si i

= 0

o

,

ω

indefinidos:

ϖ

=

+

ω

. Si e

= 0, = 0

o

,

ω

,

θ

indefinidos:

λ

T

=

+

ω

+

θ

.

Maniobras

MANIOBRA GENERAL

V

2

V

2

i

V

2

f

− 2V

i

V

f

cos

ϕ

, donde V

i

=Vel. inicial, V

f

=Vel. final,

ϕ

=´angulo entre V

i

V

f

=

γ

i

γ

f

.

sen

ψ

=

V

f

sen

ϕ

V

,

ψ

=´angulo entre V

i

y

. Sin cambio de plano:

ω

i

+

θ

i

=

ω

f

+

θ

f

.

MANIOBRA DE CAMBIO DE PLANO ( i

1

,

1

→ i

2

,

2

)

cos

ϕ

= cos i

1

cos i

2

+ sen i

1

sen i

2

cos

(

2

1

),

V

= 2sen

ϕ

2

.

sen

φ

=

sen i

1

sen i

2

sen

(

2

1

)

sen

ϕ

, donde

φ

=latitud de la maniobra.

GASTO COMBUSTIBLE:

V

V

e

ln

m

0

m

p

m

0

,V

e

I

sp

gI

sp

=impulso espec´ıfico, g

= 9,81m/s

2

.

TRAZA/LANZAMIENTO: cos i

= sen Az cos

φ

, donde Az=azimut,

φ

=latitud. t

=

+

λ

u

λ

− GST

0

ω

t=tiempo(UT), cos

λ

u

=

cos Az

sen i

,

λ

=longitud, GST

0

=GST(00:00UT), GST

(t

2

) = GST(t

1

) + (t

2

t

1

)

ω

.

sen

φ

= sen sen i, tan(LST −

) = tan cos i, donde =

ω

+

θ

, LST

= GST +

λ

= GST

0

+

λ

+

ω

t

Cobertura y visibilidad

cos

Γ

=

R

R

h

donde h=altitud,

Γ

=radio angular. Instrumental:

Γ

= arc sen

R

h

R

sen

α



α

donde

α

=´angulo visibilidad instrumento. Ancho huella w

= 2R

Γ

(

Γ

en rad.).

Circunferencia esf´erica de radio

Γ

centrada en

φ

0

,

λ

0

: sen

φ

= sen

φ

0

cos

Γ

+ cos

φ

0

sen

Γ

cos A

con A

∈ [0,360

o

]. cos

∆λ

=

cos

Γ

− sen

φ

0

sen

φ

cos

φ

0

cos

φ

,

λ

=

λ

0

±

∆λ

(+ si A

∈ [0,180

o

], - si ∈ [180,360

o

]).

visibilidad desde

(

φ

,

λ

): h(t) = arc sen

cos

ψ

− R

q

r

2

R

2

− 2R

cos

ψ

,visible cuando h

>

ε

.

cos

ψ

= cos

φ

[cos(LST 

) cos(

ω

+

θ

) + sen(LST 

) sen(

ω

+

θ

) cos i] + sen(

ω

+

θ

) sen sen

φ



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