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.

Leyes Horarias

ELIPSE: tan

(

θ

/2) =

r 1 + e

1

− e

tan

(E/2), E=anomal´ıa exc´entrica. Ecuaci´on de Kepler:− esenE.

M

n

tM=anomal´ıa media, n

=

p

µ

/a

3

velocidad orbital media,

t=tiempo desde periapsis.

M´etodo Newton: E

k

+1

E

k

f

(E

k

)

f

(E

k

)

donde f

(E) = − esenE. Recurrencia: E

k

+1

sen E

k

.

Serie:E

− e

3

/8 + e

5

/192

 sen e

2

/2 − e

4

/6

 sen 2+ 3e

3

/8 − 27e

5

/128

 sen 3O(e

4

)

PAR ´

ABOLA: B

= 3

r

µ

p

3

t. 2B

= 3 tan



θ

2



+ tan

3



θ

2



. tan



θ

2



1

z

z

=

3

p

B

+

B

2

+ 1.

HIP ´

ERBOLA:tan

(

θ

/2) =

r 1 + e

e

− 1

tanh

(H/2), H=anomal´ıa hiperb´olica. senh − H.

N=anomal´ıa hiperb ´olica media. N

n

tn

=

r

µ

a

3

.

Elementos Orbitales Cl´asicos

En la figura:

=ascensi´on recta del nodo ascendente (RAAN),

ω

=argumento de periapsis,

i=inclinaci´on,

θ

=anomal´ıa verdadera. Adem´as: e

a. Si = 0 →

ω

,

θ

indefinidos: u

=

ω

+

θ

.

Si i

= 0

o

,

ω

indefinidos:

ϖ

=

+

ω

. Si e

= 0, = 0

o

,

ω

,

θ

indefinidos:

λ

T

=

+

ω

+

θ

.

Maniobras

MANIOBRA GENERAL

V

2

V

2

i

V

2

f

− 2V

i

V

f

cos

ϕ

, donde V

i

=Vel. inicial, V

f

=Vel. final,

ϕ

=´angulo entre V

i

V

f

=

γ

i

γ

f

.

sen

ψ

=

V

f

sen

ϕ

V

,

ψ

=´angulo entre V

i

y

. Sin cambio de plano:

ω

i

+

θ

i

=

ω

f

+

θ

f

.

MANIOBRA DE CAMBIO DE PLANO ( i

1

,

1

→ i

2

,

2

)

cos

ϕ

= cos i

1

cos i

2

+ sen i

1

sen i

2

cos

(

2

1

),

V

= 2sen

ϕ

2

. Si

2

=

1

ϕ

=

i

i

2

− i

1

.

sen

φ

=

sen i

1

sen i

2

sen

(

2

1

)

sen

ϕ

, donde

φ

=latitud donde se realiza la maniobra.

GASTO COMBUSTIBLE:

V

V

e

ln

m

0

m

p

m

0

,V

e

I

sp

g

0

I

sp

=impulso espec´ıfico, g

0

= 9,81m/s

2

.

TRAZA/LANZAMIENTO: cos i

= sen Az cos

φ

, donde Az=azimut,

φ

=latitud. t

=

+

λ

u

λ

− GST

0

ω

t=tiempo(UT), cos

λ

u

=

cos Az

sen i

,

λ

=longitud, GST

0

=GST(00:00UT), GST

(t

2

) = GST(t

1

) + (t

2

− t

1

)

ω

.

sen

φ

= sen sen i, tan

λ

u

= tan cos i, donde =

ω

+

θ

,

λ

u

+

= LST = GST +

λ

= GST

0

+

λ

+

ω

t

Cruce S

րN:∈ [−90

o

, 90

o

],NրS:∈ [90

o

, 270

o

].:= 0

o

.M´ax.

φ

:u

= 90

o

.:u

= 180

o

.M´ın.

φ

:u

= 270

o

.

´

Orbita directa (i

< 90

o

):

λ

u

mismo cuadrante que u. Retr´ograda (i

> 90

o

):

λ

u

cuadrante opuesto a u.

´

Orbita polar (i

= 90

o

): Cruce S

րN → =

φ

,

λ

u

= 0

o

. Cruce N

րS → = 180 −

φ

,

λ

u

= 180

o

.

˙

φ

=

tan

φ

tan u

˙

u, ˙

λ

= −

ω

+

cos i

cos

2

φ

˙

u, ˙

u

= ˙

θ

n

(1 + cos

θ

)

2

(1 − e

2

)

3

/2

, retr´ograda si ˙

λ

< 0. Az aparente:tanAz =

˙

λ

˙

φ

.

Cobertura y visibilidad

cos

Γ

=

R

R

h

donde h=altitud,

Γ

=radio angular. Instrumental:

Γ

= sen

−1

R

h

R

sen

α



α

donde

α

=´angulo visibilidad instrumento. Ancho huella w

= 2R

Γ

(

Γ

en rad.). ´

Area:2

π

R

2

(1 − cos

Γ

).

Circunferencia esf´erica de radio

Γ

centrada en

φ

0

,

λ

0

: sen

φ

= sen

φ

0

cos

Γ

+ cos

φ

0

sen

Γ

cos con A

∈ [0,360

o

]. cos

∆λ

=

cos

Γ

− sen

φ

0

sen

φ

cos

φ

0

cos

φ

,

λ

=

λ

0

±

∆λ

(+ si A

∈ [0,180

o

], - si ∈ [180,360

o

]). Distancia ortodr´omica:cos

α

= sen

φ

0

sen

φ

+ cos

φ

0

cos

φ

cos

(

λ

0

λ

). Dentro si

α

Γ

.

Visibilidad desde

(

φ

,

λ

): h(t) = sen

−1

h

(cos

ψ

− R

r

2

R

2

− 2R

cos

ψ



−1/2

i

,visible si h

h

min

, donde

ψ

se obtiene despejando de

cos

ψ

= cos

φ

[cos(LST 

) cos(

ω

+

θ

) + sen(LST 

) sen(

ω

+

θ

) cos i] + sen(

ω

+

θ

) sen sen

φ

. C´ırculo visible:

Φ

= cos

−1

h

R

cos h

min

R

+h

SAT

i

− h

min

.



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