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17

Método de inducción completa

El último enunciado del teorema de Peano, también llamado axioma de la inducción completa, permi-

te probar resultados con números naturales generalizando situaciones particulares.

El método, consta de dos partes:

  1.  Paso básico.  Es la demostración deductiva de que se cumple la proposición para algún número 

natural dado a:

Proposición 

→ 

(a) verdadera

  2.  Paso inductivo.  Es la demostración, de carácter también deductivo, de que si la proposición se 

supone verdadera para un número natural n, también ha de ser verdadera para el número sucesor 

de n, es decir, para el número n 

+

 1.

Proposición 

→ 

(n) verdadera 

⇒ 

(n 

+

 1) verdadera

De lo que se infiere que la proposición es verdadera para el número natural a y para todos los núme-

ros naturales siguientes al número a, es decir es verdadera para el conjunto de los números naturales  

a

 }. Evidentemente, si a es el primero de los números naturales, la proposición será verdadera para 

todo el conjunto N.

Ambos pasos parciales son procesos deductivos, por lo que cabría decir que el método de induc-

ción matemática es, en realidad, un proceso de deducción.

•  Paso básico

Se cumple para 

=

 1:

=

 

11 1

2

(

)

+

 

=

 1

Se cumple para 

=

 2:

=

 

2 2 1

2

(

)

+

 

3

•  Paso inductivo

Se supone verdadera para n 

-

 1:

… 

=

 

(

)

n

n

-

1

2

Y veamos si es verdadera para n:

… 

+

 (

1) 

=

 

( )(

)

n n

+

1

2

En efecto:

… 

(

1) 

=

 

(

)

n

n

-

1

2

 

+

 (

1) 

=

 

(

)

(

)

n

n

n

n n

-

+

=

+

1

2

2

1

2

Solución

Demostrar que la suma de los n primeros números naturales está dada por la expresión 

n n

(

)

+

1

2

, o 

sea:

+

 … 

=

 

n n

(

)

+

1

2

Problema resuelto



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