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18

Números reales

UNIDAD

1

Divisores de un número entero

Un divisor de un número entero es simplemente algún otro número por el cual se puede dividir el 

mismo.

Por ejemplo, 100 se divide entre 5; entonces, se dice que 5 es un divisor de 100. Asimismo, tam-

bién decimos que 5 divide a 100.

Si el número no es muy grande (menor que 100), primero debemos recordar las tablas de multipli-

car. Si el número se encuentra en alguna tabla de multiplicar, entonces es divisible entre ese número. 

Por ejemplo, 56 está en la tabla del 7. Por tanto, 56 se puede dividir entre 7 y también se puede dividir 

entre 8.

Criterios de divisibilidad para determinar divisores

Divisibilidad entre 2

Un número entero es divisible entre 2, si su última cifra es 0, 2, 4, 6 u 8.

Divisibilidad entre 3

Un número entero es divisible entre 3 si la suma de sus cifras es divisible entre 3. Por ejemplo, 3 

+

 7 

+

 

=

 15; esto es, 15 es divisible entre 3. Asimismo, 375 también es divisible entre 3:

375

3

125

=

También se puede usar este método para hallar el resi-

duo, para lo cual se suman las cifras y se prueba dividir 

entre 3. El residuo de esta división también es el residuo 

de la división del número original.

Por ejemplo, 3 

+

 8 

+

 0 

=

 11, 11 no es divisible entre 3.

Figura 1.6 

    126

3  380

     08

        20

           2

       3

3  11

       2

mismo residuo

•  Paso básico

Para n 

=

 1, la proposición es válida, ya que:

1

5

 

-

 1 

=

 0 

=

 0 

 5, 0 es divisible entre 5.

La suponemos válida para 

1.

(n 

-

 1)

5

 

-

 (n 

-

 1) 

=

 k 

 5

Y lo demostramos para n:

n

5

 

-

 n 

=

 j 

 5

 

(n 

-

 1 

+

 1)

5

 

-

 (n 

-

 1 

+

 1) 

=

 (n 

-

 1)

5

 

+

 5(n 

-

 1)

4

 

+

 10(n 

-

 1)

3

 

+

 10(n 

-

 1)

2

 

+

 5(n 

-

 1) 

+

 1 

-

 n

 

=

 (n 

-

 1)

5

 

+

 5(n 

-

 1)

4

 

+

 10(n 

-

 1)

3

 

+

 10(n 

-

 1)

2

 

+

 5(n 

-

 1) 

-

 (n 

-

 1)

 

=

 (n 

-

 1)

5

 

-

 (n 

-

1) 

+

 5(n 

-

 1)[(n 

-

 1)

3

 

+

 2(n 

-

 1)

2

 

+

 2(n 

-

 1) 

+

 1]

 

=

 5 

 k 

+

 5(n 

-

 1)[(n 

-

 1)

3

 

+

 2(n 

-

 1)

2

 

+

 2(n 

-

 1) 

+

 1] 

=

 j 

 5

Que es lo que queríamos demostrar.

Solución

Demostrar que para todo natural, nn

-

n, es divisible entre 5.

Problema resuelto



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