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Grupo Editorial Patria

©

7

Propiedades de los conjuntos

Sean los conjuntos ABC dentro del universo U. Las seis propiedades que rigen las operaciones con 

dichos conjuntos son:

1. Propiedades de identidad

 

 

=

 A y 

 

 

=

 

 U 

=

 U y 

 U 

=

 

2. Propiedades de idempotencia

 

=

 

 

=

 

3. Propiedades de complemento

 A

c

 

=

U

 A

c

 

=

 

4. Propiedades asociativas

(

 B

 C 

=

 

 (

 C )

(

 B

 C 

=

 

 (

 C )

5. Propiedades conmutativas

 B 

=

 

 A

 B 

=

 

 A

6. Propiedades distributivas

 (

 C ) 

=

 (

 B

 (

 C )

 (

 C ) 

=

 (

 B

 (

 C ) 

Leyes de Morgan

Las leyes de Morgan establecen los complementos de la unión e intersección entre conjuntos:

Primera ley de Morgan

El complemento de la unión de dos conjuntos es la intersección de sus complementos.

(

 B)

c

 

=

 A

c

 

 B

c

Demostración:

∈ 

(

 B)

c

 

 x 

(

 B

 x 

 A o 

 

 x 

∈ 

(A

 B

C

 )

Segunda ley de Morgan

El complemento de la intersección de dos conjuntos es la unión de sus complementos:

(

 B)

c

 

=

 A

 B

c

Demostración:

 (

 B)

 x 

(

 B

 x 

 A y 

 

 x 

 (A

 B

C

 )

 (

(

 C )) 

 x 

 A 

 (

 C ) 

 x

 ∈ 

y (x

 ∈ 

B o x

 ∈

 C ) 

 x

 ∈ 

x

 ∈ 

B o x

 ∈ 

y  

x

 ∈ 

 x

 ∈ 

(

 B

 (

 C )

Solución

Sean los conjuntos ABC. Demostrar que:

(

 C ) 

=

 (

 B

 (

 C )

Problema resuelto

Demostrar el siguiente teorema:

Teorema 1: Si A y B son conjuntos disjuntos (A 

 B 

=

 

) con cardinalidad finita, entonces:

N(A 

 B)

=

 N(A)

+

 N(B)

Problema resuelto



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