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Pino, F. A. 

Rev. de Economia Agrícola, São Paulo, v. 61, n. 2, p. 17-33, jul.-dez. 2014

 

20

tivos indicam assimetria à direita, isto é, a cauda 

direita da distribuição, onde estão os valores acima 

da média, é mais pesada. Valores negativos indicam 

assimetria à esquerda. 

 

Razão. Considere-se uma variável Z definida 

como a razão entre outras duas variáveis, X e Y

 

Y

X

Z

 

 

Da teoria estatística sabe-se que, se duas dessas va-

riáveis tiverem distribuição normal, a terceira não o 

terá, mesmo se houver independência entre duas 

delas (ver, por exemplo, K

EENE

, 1995). De fato: a) se 

X e Y forem normais, então, Z terá distribuição de 

Cauchy (que tem média e variância infinitas); b) se Z 

e  X forem normais, então, Y  terá  distribuição  de 

Cauchy; e c) se Z e Y forem normais, então, X não 

terá distribuição normal

9

. Andrews e Mallows (1974) 

apresentam condições necessárias e suficientes para 

que uma variável aleatória Z possa ser gerada com a 

razão  X/Y, onde X e Y são independentes e X tem 

distribuição normal padrão. 

 

Exemplos da razão entre duas variáveis são: 

a)  A produtividade (ou rendimento) agrícola

10

 é cal-

culada pela produção

11

 dividida pela área plan-

tada (ou pelo número de plantas); 

b)  A densidade de cultivo agrícola é calculada pelo 

número de plantas dividido pela área plantada

12

c)  A produtividade pecuária é calculada pela pro-

dução dividida pelo número de animais

13

; e 

                                                           

9

Pode-se mostrar que a distribuição do produto de duas variá-

veis normais não é normal (em alguns casos, ela converge para 

uma normal), podendo ser apenas aproximada (W

ARE

;

 

L

AD

,

 

2003;

 

C

RAIG

, 1936). 

10

Em inglês, field crop yield

11

Em inglês, output, production, yield. 

12

Também chamada densidade de plantio, ou stand de plantas, 

palavra eventualmente aportuguesada para estande (em inglês, 

plant stand), é definida como o número de plantas por unidade 

de área, sendo determinada pelo espaçamento entre as plantas 

no campo. A expressão “número de plantas” pode ser dita 

“número de pés” por alguns autores. 

13

A expressão “número de animais” pode ser dita “número de 

cabeças” por alguns autores. 

d)  O preço é dado pelo valor da transação dividido 

pela quantidade vendida (expressa em peso, ou 

em volume, ou em número de unidades, etc.), 

embora, na prática comercial, o preço seja estabe-

lecido e o valor da transação, calculado depois. 

 

Em todos esses casos, certamente a suposição 

de normalidade não é correta, às vezes, por mais de 

um motivo. 

 

 

3 - EFEITOS DE DESVIOS DA NORMALIDADE 

 

 

Comumente espera-se que as observações de 

amostras de populações sigam uma distribuição 

normal ou aproximadamente normal. De fato, a 

suposição de normalidade é uma das mais comuns 

nos procedimentos estatísticos. Entretanto, essa su-

posição é, frequentemente, a que menos provavel-

mente é válida. É mais comum que as observações 

tenham uma distribuição apenas aproximadamente 

normal. Felizmente, boa parte da análise de variân-

cia pode ser desenvolvida sem tal suposição, que é 

necessária somente para justificar o uso de certos 

testes de significância formalmente precisos e certas 

fórmulas de estimação (J

OHNSON

;

 

L

EONE

, 1964). Po-

de-se mostrar que é possível tolerar um razoável 

afastamento da normalidade, com pequeno efeito 

prático na análise de variância convencional. A não 

normalidade não leva a erros sérios de interpretação 

de médias simples, que na maioria dos casos são 

aproximadamente normais, ao contrário do que 

acontece com a distribuição das estatísticas de se-

gunda ordem (H

OTELLING

;

 

P

ABST

, 1936).  

 

Num modelo de regressão, o grau de não 

normalidade das variáveis independentes é decisivo 

para a não normalidade da variável dependente e 

para a sensibilidade da análise de variância a esse 

afastamento da normalidade (B

OX

;

 

W

ATSON

, 1962). 

A utilidade da estimação num modelo de regressão 

depende do grau em que as suposições do modelo, 

incluindo heterocedasticidade e normalidade dos 

erros, são satisfeitas. A falta de normalidade não 

introduz viés na estimação dos parâmetros, mas sim, 

na dos desvios padrões, afetando a validade dos 


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