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Pino, F. A. 

Rev. de Economia Agrícola, São Paulo, v. 61, n. 2, p. 17-33, jul.-dez. 2014

 

22

onde 

i

O

 é uma frequência observada e 

i

E

 

é uma 

frequência esperada. Com essa estatística constrói-se 

um teste de qui-quadrado de aderência (M

OOD

;

 

G

RAYBILL

;

 

B

OES

, 1974). 

 

Desde que surgiu o interesse pela questão, 

testes para normalidade/não normalidade e suas 

variações, para o caso univariado e o caso multivari-

ado, têm sido propostos às catadupas. Ao final do 

século XX, existiam cerca de 40 testes

14

 mais específi-

cos para não normalidade que se fundamentavam 

em características da distribuição normal (D

UFOUR

 et 

al., 1998). Na década seguinte, já se contavam mais 

de 50 métodos para estudar o ajustamento à normal 

(M

ECKLIN

; M

UNDFROM

,

 

2004;

 

D

ESMOULINS

-L

EBE

-

AULT

, 2004)

15

. Há várias maneiras de categorizar 

esses testes, como a seguinte: a) testes baseados na 

função de distribuição empírica

16

; b) testes baseados 

em regressão e correlação; c) testes baseados em 

momentos (D

UFOUR 

et al.,

 

1998; S

EIER

, 2002). Alguns 

dos mais utilizados são descritos a seguir. 

 

 

4.1 - Testes Baseados na Função de Distribuição 

Empírica 

 

 

Existem importantes testes baseados na fun-

ção de distribuição empírica

17

 (ou na função caracte-

rística empírica), que consistem em compará-la com 

a função de distribuição acumulada

18

 da normal. 

Apresentam-se os três principais a seguir

19

. Sejam n 

                                                           

14

Geralmente, são testes abrangentes (em inglês, omnibus tests) ou 

globais, no sentido de que compreendem vários itens, ou cuja 

hipótese nula refere-se globalmente a todos os grupos do estudo. 

15

Um bom trabalho de revisão sobre testes para normalidade, 

especialmente para o caso multivariado, é o de Mecklin e Mund-

from (2004). 

16

A palavra “empírica” tem aqui o significado de “baseada nos 

dados ou observações”. 

17

Referenciada pela sigla em inglês E

DF

18

Referenciada pela sigla em inglês C

DF

19

Outros testes baseados na função de distribuição empírica são 

 

observações 

ˆ

in

z

ou  

ˆ

i

z

, para 

i n

 

, e a transforma-

ção 

ˆ

(

/ )

i

in

U

Z

s

 

, onde 

(.)

 denota a função de 

distribuição cumulativa da normal padrão N(0,1). 

 

 

Teste de Kolmogorov-Smirnov

20

Esse teste é 

definido por: 

 

= max (

+

,

 

onde 

+

= max ( ⁄ ) −

 

 e 

 

max

( 1) /

i

D

U

i

n

 

. A 

tabela para o caso em que a média e a variância pre-

cisam ser estimadas a partir da amostra é dada em 

Lilliefors (1967). Uma revisão dos pontos de signifi-

cância foi apresentada em D’Agostino e Stephens 

(1986 apud D

UFOUR

 et al., 1998), enquanto que uma 

extensão para o caso multivariado foi considerada 

por Justel, Peña e Zamar (1994). 

 

 

Teste de Cramer-von Mises

21

.  Esse teste é 

definido por: 

 

2

2

1

[

(2 1) / 2 ]

1/12

n

i

i

W

U

i

n

n

 

 

Chen, Lockhart e Stephens (1993) desenvolveram a 

teoria para que o teste de Cramer-von Mises possa 

ser aplicado após o uso da transformação de Box-

Cox. 

 

 

Teste de Anderson-Darling

22

.  Esse teste, é 

definido por: 

 

n

i

i

i

U

i

n

U

i

n

n

A

1

2

)]

1

ln(

)

2

1

2

(

ln

)

1

2

[(

1

 

 

Chen, Lockhart e Stephens (1993) desenvolveram a 

teoria para que o teste de Anderson-Darling possa ser 

aplicado após o uso da transformação de Box-Cox. 

 

                                                           

apresentados por Csörgő (1986), Henze e Wagner (1997), Rao e Ali 

(1998), Bogdan (1999), Akbilgiç e Howe (2011), Su e Kang (2015). 

20

Desenvolvido por Kolmogorov (1933 apud D

UFOUR

 et al., 

1998) e por Smirnov (1948). 

21

Desenvolvido por Cramér (1928 apud S

HAPIRO

;

 

W

ILK

, 1965) e 

por Von Mises (1928 apud A

RNOLD

;

 

E

MERSON

, 2011), 

22

Desenvolvido por Anderson e Darling (1954). 

2

=

(

− )

2

 


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