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A Questão da Não Normalidade: uma revisão 

 

 

Rev. de Economia Agrícola, São Paulo, v. 61, n. 2, p. 17-33, jul.-dez. 2014

 

23

4.2 - Testes Baseados em Regressão e Correlação 

 

 

Os testes de regressão e correlação baseiam-se 

no fato de que a variável Y~N(

,σ

2

)    pode  ser  ex-

pressa como  y = 

 +σx, onde X~N (0,1), conforme 

Seier (2002). Esses testes usam a razão de duas esti-

mativas obtidas de estatísticas de ordem: uma esti-

mativa ponderada de mínimos quadrados, dado que 

a população é normalmente distribuída, e a estima-

tiva não viesada da variância amostral, para qual-

quer população (D

UFOUR

 et al., 1998). Dois desses 

testes são apresentados a seguir

23

.  

 

Teste de Shapiro-Wilk

24

.  Esse é o mais co-

nhecido teste baseado em regressão e correlação, e 

definido por: 

=

1

( − )

2

̂

=1

2

 

com 

= (

1

, … ,

) =

−1

( ′

−2

)

1 2

 

 

 

onde c´= (c

1

, ..., c

n

) e V são o vetor de valores espera-

dos e a matriz de covariâncias das estatísticas de 

ordem da normal padrão, respectivamente. Uma 

modificação desse teste, para grandes amostras, é o 

teste de Shapiro-Francia (SF), apresentado por Sha-

piro e Francia (1972). Uma extensão para o caso mul-

tivariado é dada por Srivastava e Hui (1987). 

 

Teste de D’Agostino

25

.  Esse teste consiste 

numa combinação linear das observações ordenadas 

e é definido por: 

 

=

1

2

̂

− ( + 1) 2

=1

 

com 

2

=

1

( ̂ − ̅)

2

=1

 

 

                                                           

23

Há outros testes de regressão e correlação como aqueles des-

critos em Filliben (1975) e em Weisberg e Bingham (1975 apud 

D

UFOUR

 et al., 1998). 

24

Desenvolvido por Shapiro e Wilk (1965). 

25

Desenvolvido por D’Agostino (1971). 

onde 

z

é a média amostral. 

 

 

4.3 - Testes Baseados em Momentos 

 

 

Há testes baseados na assimetria e na curtose, 

os quais consistem em comparar a assimetria e a 

curtose da função de distribuição empírica (baseada 

nos dados) e aquelas da função de distribuição nor-

mal (S

EIER

, 2002): 

 

=

1

̂

3

3

=1

 

=

1

̂

4

4

=1

 

 

onde Sk representa o terceiro momento (assimetria) e 

Ku representa a curtose

26

. Os testes podem usar um 

desses momentos ou ambos conjuntamente. Um teste 

usando assimetria e curtose é descrito a seguir

27

 

Teste de Jarque-Bera

28

.  Esse teste é definido 

por: 

 

=

1

6

( )

2

+

1

24

(

)

2

 

 

onde 6/n e 24/n  e  são as variâncias assintóticas da 

assimetria e da curtose, respectivamente (ou Ku -3

se a curtose for definida com média 3).  

 

 

4.4 - Comparação de Testes 

 

 

O poder de cada um desses testes depende da 

natureza da não normalidade (S

EIER

, 2002). A falta 

de soluções exatas para as distribuições amostrais 

levaram ao desenvolvimento de muitos estudos de 

                                                           

26

A assimetria também pode ser representada por 

 b

1

 e a cur-

tose, por 

b

2

 

.  

27

Outros testes desse tipo são os descritos por Bowman e Shen-

ton (1975), Isogai (1982), Doornik e Hansen (1994), Urzúa 

(2007); Nakagawa, Hashiguchi e Niki (2012). 

28

Descrito em Jarque e Bera (1987) e em Bowman e Shenton (1975). 


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