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A Questão da Não Normalidade: uma revisão 

 

 

Rev. de Economia Agrícola, São Paulo, v. 61, n. 2, p. 17-33, jul.-dez. 2014

 

25

análise. A atenção deve concentrar-se, portanto, nas 

variáveis cuja convergência não é muito rápida. 

 

A normalidade assintótica também pode 

ocorrer para outras estatísticas amostrais, como cor-

relações, estatísticas de ordem, estatísticas de máxi-

ma verossimilhança, quantis, conforme Hoeffding 

(1948), entre outros. Uma estimativa da precisão da 

aproximação normal, com o objetivo de obter limites 

para amostras razoáveis é apresentada por Reiss 

(1974). Condições necessárias e suficientes para que 

sequências de valores subamostrais de uma estatísti-

ca sejam normalmente assintóticas são apresentadas 

por Hartigan (1975). Mesmo em algumas situações 

complexas a normalidade assintótica pode acontecer 

(D

UPAČOVÁ

;

 

W

ETS

, 1987). Condições para estimação 

com normalidade assintótica de modelos de séries 

estacionárias com raiz unitária comum foram apre-

sentadas por West (1988). 

 

Transformação dos dados. Finalmente, é pos-

sível aplicar uma transformação aos dados, de tal 

forma que os dados transformados tenham distribui-

ção normal ou aproximadamente normal. Segundo 

Aitchison (1982), esse tipo de questão começou a ser 

considerada por McAlister (1879). Às vezes, o tipo de 

transformação pode ser sugerido pelo próprio pro-

blema. Por exemplo, num experimento de fixação de 

nitrogênio em plantas, como o crescimento das plan-

tas acontece de forma aproximadamente logarítmica, 

parece natural que tomando os logaritmos da quanti-

dade de nitrogênio nas plantas, as variâncias diferirão 

pouco entre tratamentos. Entretanto, nem sempre a 

transformação lógica é tão evidente (E

ISENHART

;

 

W

IL-

SON

, 1943). Efron (1982) discute condições sob as quais 

existe uma simples transformação monótona que 

torne uma variável aproximadamente normal, mas 

alerta para o fato de que nem sempre a normalização 

da variável conduz a uma estabilização da variância. 

Sprot (1973) assinala que uma análise da função de 

verossimilhança pode indicar quando a teoria da 

estimação para grandes amostras pode ser aplicada e 

quando ela é inadequada podendo levar a erros. O 

autor analisa transformações que podem melhorar a 

aproximação à normalidade das funções de verossi-

milhança e, também, a precisão de níveis de signifi-

cância e dos intervalos de confiança baseados na teo-

ria para grandes amostras. Shenton (1965) apresenta 

um método para transformar distribuições de Pearson 

de tipos I, III, V e VI em distribuições aproximada-

mente normais, trabalhando com regressões. Quando 

a população não é normal, a probabilidade de se obter 

um valor da estatística t de Student (ou de F) maior 

que um dado valor crítico difere do valor tabulado 

por certo fator. Bradley (1952) estuda correções para 

tais testes, permitindo o uso das tabelas comuns. Cur-

tiss (1940) apresenta uma teoria matemática geral 

para certos tipos de transformação em uso, como a 

transformação pela raiz quadrada, a transformação 

logarítmica e a transformação pelo inverso do seno. 

 

Geralmente, os desvios de normalidade são 

seguidos de heterocedasticidade. Além disso, uma 

correlação entre a variância e a média frequentemen-

te implica assimetria excessiva. Assim, o que se pro-

cura é uma mudança de escala para estabilizar a 

variância, procedimento este que costuma também 

diminuir a assimetria e aproximar da normal a dis-

tribuição da variável. Deve-se alertar para o fato de 

que nem sempre a normalização da variável conduz 

a uma estabilização da variância (E

FRON

, 1982). En-

tretanto, desvios moderados da normalidade não 

costumam constituir problema muito sério (B

AR-

TLETT

, 1936, 1947). Num modelo de regressão, uma 

maneira de tratar a violação da suposição de norma-

lidade consiste em transformar a variável da saída, a 

fim de tornar simétrica a distribuição dos resíduos, 

não o das variáveis dependentes (B

ERNIER

;

 

F

ENG

;

 

A

SAKAWA

, 2011). 

 

 

5.1 - Transformação Potência 

 

 

Talvez a família mais geral de transformações 

para normalidade seja a família paramétrica de 

transformação potência, também chamada trans-

formação de Box-Cox, dada por: 

 

( )

=

( + )

,

para  ≠ 0

log( + ),

para  = 0 e  > −

 

 


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