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Pino, F. A. 

Rev. de Economia Agrícola, São Paulo, v. 61, n. 2, p. 17-33, jul.-dez. 2014

 

26

onde y representa a observação original, y

(λ)

 repre-

senta a observação transformada, λ e c são parâme-

tros desconhecidos e log representa o logaritmo 

natural, proposta no artigo seminal de Box e Cox 

(1964)

31

. Supõe-se que para algum valor deλe al-

gum valor de c as observações transformadas sejam 

independentes e normalmente distribuídas com 

variância constante σ

2 

e esperança aθ, onde a é 

uma matriz conhecida de posto completo e θ é um 

vetor de parâmetros desconhecidos. A densidade de 

probabilidade das observações é obtida por 

 

1

√2

exp −

( )

( )

2

2

× ( , ) 

 

onde o Jacobiano da transformação é dado por 

 

( , ) =

( )

=1

 

 

 

Os parâmetros na fórmula acima podem ser 

estimados de duas maneiras: a) aplicando a teoria de 

máxima verossimilhança para grandes amostras; ou 

b) aplicando a teoria de Bayes, na qual se admite que 

as distribuições a priori dos θ´s e log(σ)sejam uni-

formes sobre a região onde a função de verossimi-

lhança está definida, e se obtém a distribuição a pos-

teriori de  . Um algoritmo para estimar o parâmetro 

da transformação de Box-Cox foi proposto por Asar 

e Dağ (2014). Entretanto, como o estimador de má-

xima verossimilhança do parâmetro da transforma-

ção de Box-Cox é muito sensível a valores discrepan-

tes (A

NDREWS

, 1971), Yeo, Jonhson e Dene (2014) 

propuseram estimar esse parâmetro mediante a 

minimização da distância quadrática ponderada 

entre a função característica empírica dos dados 

transformados e a função característica de uma dis-

tribuição normal. Por outro lado, Foudjo (2013), 

trabalhando no âmbito de séries temporais, tratou de 

testes robustos para normalidade (em especial, o de 

                                                           

31

Pode-se mostrar que 

)

log(

lim

)

(

0

c

y

y

, conforme S

AS

 

(2008). 

Shapiro-Wilk), visando obter um estimador robusto 

para o parâmetro da transformação Box-Cox. 

 

O uso da transformação de Box-Cox antes da 

análise ou da modelagem é especialmente recomen-

dado quando a variável assume somente valores 

positivos (P

OIRIER

, 1978). Draper e Cox (1969) mos-

tram que, mesmo quando não se consegue normali-

dade exata com a transformação, ela pode ser utiliza-

da, podendo se obter um estimador consistente. A 

precisão da estimativa de   depende muito do coefici-

ente de variação dos dados transformados. Atkinson 

(1973) compara três testes de hipóteses sobre o parâ-

metro da transformação: o teste da razão de verossi-

milhança utilizado por Box e Cox (1964), o teste exato 

proposto por Andrews (1971), para o parâmetro da 

transformação de Box-Cox, e um teste estatístico de 

uma normal assintótica derivada da função de veros-

similhança. Conclui que o teste de Andrews é exato e 

mais fácil de calcular, mas os testes derivados da fun-

ção de verossimilhança são uniformemente mais po-

derosos. Entretanto, considerando-se que a estimativa 

da média é muito afetada por valores extremos, inter-

valos para a média podem ser muito sensíveis a vari-

ações nos valores do parâmetro da transformação de 

Box-Cox, pois as caudas da distribuição resultante 

podem diferir bastante. A incorporação de informa-

ção a priori numa estimação bayesiana pode, eventu-

almente, diminuir essa sensibilidade da média a valo-

res de λ (R

UBIN

, 1984).  

 

Como a transformação de Box-Cox é definida 

somente para variáveis positivas, isto é, em que y = 0

a transformação foi estendida para valores negati-

vos, resultando na transformação de Yeo-Johnson

32

 

( )

=

( + 1) − 1

,

para  ≠ 0, ≥ 0

log( + 1),

para  = 0, ≥ 0

(1 − )

2−

− 1

2 −

, para  ≠ 2, < 0

− log(1 − ) , para  = 2, < 0

 

 

 

                                                           

32

Proposta por Yeo e Johnson (2000 apud W

EISBERG

,

 

2001). 


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