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A Questão da Não Normalidade: uma revisão 

 

 

Rev. de Economia Agrícola, São Paulo, v. 61, n. 2, p. 17-33, jul.-dez. 2014

 

27

Transformação semelhante, abrangendo valores 

negativos, é apresentada em Ahmad, Naing e Hus-

sein (2007). 

 

No caso multivariado, a transformação de 

Box-Cox pode ser escrita como: 

 

( )

=

+

×

−1

,

para

≠ 0

log

+

×

,

para  = 0 e

> −

 

para o j-ésimo elemento do vetor νx 1 de respostas  

y'i = (y

i1

, ... , y

). O caso de transformação conjunta 

de dados multivariados discutido em Bozdogan e 

Ramirez (1986) toma m

j

=1, mas em Riani (2004), 

 é a média geométrica da j-ésima resposta. 

 

Em resumo, trata-se de uma transformação 

bastante estudada sob muitos aspectos (S

AKIA

, 1992). 

Muitas transformações comuns, como a logarítmica 

e a raiz quadrada, são apenas casos particulares da 

transformação potência, como será visto a seguir. 

 

 

Transformação cúbica. É o caso da transfor-

mação potência em que λ= 3: 

 

( )

=

( + )

3

3

 

 

 Transformação 

quadrática. 

É o caso da trans-

formação potência em queλ= 2, sendo usada para 

dados assimétricos à esquerda: 

 

( )

=

( + )

2

2

 

 

 

Transformação linear. É o caso da transfor-

mação potência em que λ= 1,  e tem-se apenas uma 

mudança de origem: 

 

( )

= +

 

 

Neste caso, nenhuma transformação é necessária, 

produzindo-se um resultado idêntico ao original. 

 

 

Transformação raiz quadrada. É o caso da 

transformação potência em que 

1

2

( )

= 2

+

 

 

A transformação raiz quadrada, introduzida por 

Bartlett (1936), é usada para variáveis com distribui-

ção de Poisson e para dados de contagem de ocor-

rências (O

SBORNE

, 2010).  

 

 

Transformação logarítmica. É o caso da trans-

formação potência em que λ= 0: 

 

( )

log(

)

y

y c

 

 

Quando uma variável é restrita a valores não negati-

vos, a transformação logarítmica também estende os 

valores da variável para a reta real. A transformação 

logarítmica tem grande apelo e vem sendo utilizada há 

muito tempo com sucesso, sendo popular em análise 

de regressão e econometria. Já no trabalho de Bartlett 

(1947) encontram-se as transformações pela raiz qua-

drada, a angular e a logarítmica, que são as mais utili-

zadas. O autor indica a transformação 

log(1

)

x

 no 

lugar de 

log( )

x

, para evitar dificuldades com zeros. As 

transformações mais comuns para dados assimétricos à 

direita são a inversa, a logarítmica e a raiz quadrada. 

Certos aspectos da transformação logarítmica foram 

vistos também por Bartlett e Kendall (1946). 

 

Aplicando-se logaritmos dos dois lados da 

igualdade de uma razão entre duas variáveis, 

/

Z

X Y

, obtém-se: 

 

log

log

log

Z

X

Y

 

 

e, neste caso, as três variáveis transformadas podem 

ser normais. Ao expressar a razão das variáveis co-

mo uma diferença de duas variáveis, as suposições 

da análise de variância ou da análise de regressão, 

geralmente, se tornam mais realistas (K

EENE

, 1995). 

 

Apesar de seu apelo, o fato de a transforma-

ção logarítmica produzir intervalos de confiança 

assimétricos em relação à média pode não ser dese-

jável em alguns estudos. A demonstração é evidente, 

mas seja a seguinte estimativa por intervalo para a 

variável Z tomada nos logaritmos: 

 

log

= log −

 e log

= log +

 


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