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A Questão da Não Normalidade: uma revisão 

 

 

Rev. de Economia Agrícola, São Paulo, v. 61, n. 2, p. 17-33, jul.-dez. 2014

 

29

5.2 - Transformações Angulares 

 

 Algumas 

transformações envolvem a função 

seno ou o respectivo ângulo ou outras funções. 

 

 

Transformação inverso do seno. É dada por: 

 

( )

= √  sen

−1

+ ⁄ ,

para − ≤ ≤ 1 −

0, caso contrário

 

onde α é uma constante arbitrária. A transformação 

inverso do seno é usada para variáveis com distribui-

ção binomial. Sua teoria pode ser vista em Beall 

(1942)

34

. Entretanto, seu uso vem diminuindo e seus 

méritos questionados, sendo substituída com algumas 

vantagens pela análise de regressão logística sobre os 

dados originais (O

SBORNE

,

 

2010;

 

W

ILSON

 et al., 2010). 

 

 

Transformação angular (ou arco seno). É 

dada por: 

 

y

sen 

 

arc

)

(

y

   

 

É usada para proporções (ou, equivalentemente, 

percentagens), que são transformadas num ângulo. 

Foi usada por Fischer (1922), no contexto de Genéti-

ca e por Zubin (1935). 

 

 

Transformação seno hiperbólico inverso. É 

dada por: 

 

( )

= senh

−1

( ) = arcsenh( ) = 

=

1

log

+

2 2

+ 1 ,            para  > 0

 

 

Essa transformação foi proposta por Johnson (1949, 

apud B

URBIDGE

;

 

M

AGEE

;

 

R

OBB

,

 

1988), enquanto uma 

generalização dessa transformação foi proposta por 

Burbidge, Magee e Robb (1988). 

 

 

 

Transformação tangente hiperbólica inversa. 

É dada por: 

                                                           

34

Também em Tippett (1934 apud B

EALL

, 1942). 

( )

= tanh

−1

( ) = arctanh( ) =

1

2

log

1 +

1 −

 

 

 

Essa transformação foi usada por Taylor (1984). 

 

 

5.3 - Outras Transformações 

 

 

Transformação exponencial. É dada por: 

 

y

e

y

)

(

 

É usada para dados assimétricos à esquerda. 

 

 

5.4 - Efeitos da Transformação 

 

 

Depois de usar uma transformação sobre os 

dados para garantir normalidade, aplicam-se os 

procedimentos de análise estatística sobre os dados 

transformados. Todavia, em alguns casos é preciso 

fazer a transformação inversa para fornecer resulta-

dos sobre a variável original, por exemplo, interva-

los de confiança. Então, alguns problemas podem 

aparecer. Por exemplo, ao se ajustar um modelo li-

near a uma variável de resposta transformada, as 

predições obtidas devem passar pela transformação 

inversa para serem expressas nas unidades originais 

de observação. Ocorre, segundo Perry e Walker 

(2015) que essas predições da variável de resposta 

original contêm um viés, teoricamente

35

 originado 

do fato de que E(Y

k

)  é uma função não linear de μe 

σ

2

 

 

6 - CONSIDERAÇÕES FINAIS 

 

 

A distribuição normal e a estimação por mí-

nimos quadrados vêm sendo utilizados desde o 

início do século XIX, mas tornou-se quase onipresen-

te em muitos procedimentos estatísticos desenvolvi-

dos ao longo do século XX na forma de um dos pres-

                                                           

35

Ver Land (1974 apud P

ERRY

;

 

W

ALKER

, 2015). 


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