Nombre de la asignatura: Mecánica de sólidos

Caracterización de la asignatura.

Esta asignatura contribuye a desarrollar un pensamiento lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos y resolver problemas en los que interviene la variación.

Hay una diversidad de problemas en la ingeniería que son modelados y resueltos a través de una integral, por lo que resulta importante que el ingeniero domine el Cálculo integral.

El problema esencial del Cálculo integral es calcular áreas de superficies, particularmente el área bajo la gráfica de una función; de manera más sencilla, sumar áreas de rectángulos. Varios conceptos son descritos como el producto de dos variables; por ejemplo: trabajo, como fuerza por distancia; fuerza como el producto de la presión por el área; masa como densidad por volumen. Si cada uno de los factores que componen el producto se asocian con cada uno de los ejes coordenados; el producto se asocia en el plano con una área que puede ser calculada a través de una integral.

En general, si se define un plano p q, entonces la integral nos permite calcular áreas en este plano, las unidades del área resultante están definidas por las unidades de los factores.

Intención didáctica.

Buscando la comprensión del significado de la integral se propone un tratamiento que comience por lo concreto y pase luego a lo abstracto, así se sugiere que la integral definida se estudie antes de la indefinida puesto que aquélla puede ser abordada a partir del acto concreto de medir áreas.

Se incluye la notación sumatoria para que el alumno la conozca y la maneje en la representación de sumas de Riemann. La función primitiva se define junto con el Teorema Fundamental por estar íntimamente ligados. Las integrales impropias se ubican en esta unidad por ser un caso de integral definida, para aprovechar el contexto.

Una vez que se abordó la construcción conceptual de la integral definida, se estudian la integral indefinida y los métodos de integración, para tener más herramientas en la construcción de la antiderivada, necesaria para aplicar el Teorema Fundamental.

Las aplicaciones incluidas en el temario son las básicas, adecuadas a las competencias previas de los estudiantes, con el objetivo que sean ellos quienes planteen por sí mismos la integral a aplicar y resolver. Se complementa el tratamiento de aplicaciones con la identificación, por parte del alumno, de la integral en diferentes temas de ingeniería.

Se incluye la serie de Taylor puesto que el cálculo de algunas integrales se facilita o posibilita representando la función a integrar como una serie de potencias.

La lista de prácticas y actividades de aprendizaje recomendadas no es exhaustiva, se han incluido ejemplos que pretenden favorecer el desarrollo de las competencias. En dichas actividades se especifica la participación del alumno con la intención de resaltar su papel activo. En algunas unidades se sugiere iniciar el tratamiento del tema con la realización de una práctica, esto obedece a lo expuesto arriba: partir de lo concreto para llegar a lo abstracto.

Competencias específicas

Competencias genéricas

• Contextualizar el concepto de Integral.

• Discernir cuál método puede ser más adecuado para resolver una integral dada y resolverla usándolo.

• Resolver problemas de cálculo de áreas, centroides, longitud de arco y volúmenes de sólidos de revolución.

• Reconocer el potencial del Cálculo integral en la ingeniería.

• Modelar matemáticamente fenómenos y situaciones.

• Pensar lógica, algorítmica, heurística, analítica y sintéticamente.

• Argumentar con contundencia y precisión.

• Procesar e interpretar datos.

• Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numérica, geométrica, algebraica, trascendente y verbal.

• Comunicar ideas en el lenguaje matemático en forma oral y escrita.

• Reconocer conceptos o principios generales e integradores.

• Establecer generalizaciones.

• Potenciar las habilidades para el uso de tecnologías de la información.

• Resolver problemas.

• Analizar la factibilidad de las soluciones.

• Optimizar soluciones.

• Tomar decisiones.

• Transferir el conocimiento adquirido a otros campos de aplicación.

Unidad

Temas

Subtemas

1

Teorema fundamental del cálculo.

1. Medición aproximada de figuras amorfas.

2. Notación sumatoria.

3. Sumas de Riemann.

4. Definición de integral definida.

5. Teorema de existencia.

6. Propiedades de la integral definida.

7. Función primitiva.

8. Teorema fundamental del cálculo.

9. Cálculo de integrales definidas.

10. Integrales Impropias.

2

Integral indefinida y métodos de integración.

1. Definición de integral indefinida.

2. Propiedades de integrales indefinidas.

3. Cálculo de integrales indefinidas.

   1. Directas.

   2. Con cambio de variable.

   3. Trigonométricas.

   4. Por partes.

   5. Por sustitución trigonométrica.

   6. Por fracciones parciales.

3

Aplicaciones de la integral.

1. Áreas.

   1. Área bajo la gráfica de una función.

   2. Área entre las gráficas de funciones.

2. Longitud de curvas.

3. Cálculo de volúmenes de sólidos de sólidos de revolución.

4. Cálculo de centroides.

5. Otras aplicaciones.

Unidad

Temas

Subtemas

4

Series.

1. Definición de seria.

   1. Finita.

   2. Infinita.

2. Serie numérica y convergencia Prueba de la razón (criterio de D´Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

3. Serie de potencias.

4. Radio de convergencia.

5. Serie de Taylor.

6. Representación de funciones mediante la serie de Taylor.

7. Cálculo de Integrales de funciones expresadas como serie de Taylor.