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3.5

Derivada direccional y vector gradiente. Recta normal y plano tangente

La derivada direccional

(D

ˆ

u

f )

P

0

de una función

z = f (x, y) en un punto

P

0

(x

0

, y

0

) de su dominio representa la razón de cambio de f a lo largo de una

dirección arbitraria

ˆ

u en el plano xy, a partir de P

0

.

Para calcular

(D

ˆ

u

f )

P

0

es necesario determinar el cambio que experimenta la

función

z = f (x, y) cuando el punto P

0

(x

0

, y

0

) se mueve en línea recta en la

dirección

ˆ

u = u

1

ˆı + u

2

ˆ

 hacia otro punto cercano P (x, y), con

x = x

0

+ u

1

s

y = y

0

+ u

2

s,

s ∈ R.

Definición. La derivada direccional

(D

ˆ

u

f)

P

0

de una función diferenciable

f en un punto P

0

(x

0

, y

0

) de su dominio, en la dirección del vector unitario

ˆ

u = u

1

ˆı + u

2

ˆ

, es el número

(D

ˆ

u

f )

P

0

=

df

ds

ˆ

u,P

0

= l´ım

s→0

f (x

0

+ su

1

, y

0

+ su

2

) − f(x

0

, y

0

)

s

,

siempre que este límite exista.

El cálculo de la derivada direccional a partir de la definición anterior no

resulta práctico en general (puedes ver un ejemplo en el Thomas-Finney). Para

reescribir la derivada

(df /ds)

ˆ

u,P

0

en términos de una expresión más fácil de

calcular utilizaremos la regla de la cadena. Tomando en cuenta que

z = f (x, y),

113



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