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Capítulo 3

Diferenciación

con

x = x(s) = x

0

+ u

1

s y y = y(s) = y

0

+ u

2

s„ se tiene

(D

ˆ

u

f )

P

0

=

df

ds

ˆ

u,P

0

=

∂f

∂x

P

0

dx

ds

+

∂f

∂y

P

0

dy

ds

,

=

∂f

∂x

P

0

u

1

+

∂f

∂y

P

0

u

2

=

∂f

∂x

P

0

ˆı +

∂f

∂y

P

0

ˆ

 · (u

1

ˆı + u

2

ˆ

) .

Esta última expresión puede simplificarse, introduciendo la definición de vector

gradiente de

f.

Definición. El gradiente de una función diferenciable

f (x, y) en cada punto

interior de su dominio es el vector

∇f(x, y) =

∂f (x, y)

∂x

ˆı +

∂f(x, y)

∂y

ˆ

.

El símbolo

∇ se conoce como “nabla” y la notación ∇f se lee “gradiente de f”

o “nabla de

f”. En términos de este vector, la derivada direccional se simplifica

como lo establece el siguiente teorema.

Teorema. Si las derivadas parciales de

f (x, y) están definidas en el punto

P

0

(x

0

, y

0

), entonces

(D

ˆ

u

f )

P

0

= ∇f(x

0

, y

0

) · ˆu .

Nota que en los casos particulares

ˆ

u = ˆı o ˆ

u = ˆ

 la derivada direccional se

convierte en las derivadas parciales, es decir,

(D

ˆ

ı

f)

P

0

=

∂f

∂x

P

0

,

(D

ˆ

f)

P

0

=

∂f

∂y

P

0

.

114



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