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3.5

Derivada direccional y vector gradiente. Recta normal y plano tangente

Ejemplos:

1. Calcula el vector gradiente de la función

f (x, y) = xe

y

en el punto

P

0

(3, 0).

Como

f

x

(x, y) = e

y

y

f

y

(x, y) = xe

y

, por lo tanto el vector gradiente

∇f en

cada punto

(x, y) está dado por

∇f(x, y) = e

y

ˆı + xe

y

ˆ

.

De esta manera, el vector gradiente de

f en el punto P

0

(3, 0) es

∇f(3, 0) = ˆı+ 3ˆ.

2. Calcula la derivada direccional de

f (x, y) = xe

y

en el punto

P

0

(3, 0), en la

dirección del vector

A = 4ˆı − 3ˆ.

De acuerdo con el ejercicio anterior,

∇f(3, 0) = ˆı+ 3ˆ. Por otra parte, el vector

unitario de

A es

ˆ

A =

A

A

=

4

5

ˆı −

3

5

ˆ

.

De esta manera, la derivada direccional de

f en el punto P

0

en la dirección del

vector

A está dada por

(D

ˆ

A

f )

P

0

= ∇f(3, 0) · ˆ

A = ( ˆı + 3ˆ

) ·

4

5

ˆı −

3

5

ˆ

=

4

5

9

5

= −1.

Esto significa que, al cambiar el punto

P

0

hacia otro punto muy cercano en la

dirección de ˆ

A, la función f decrece aproximadamente en 1 unidad.

Significado geométrico del gradiente

De acuerdo con su definición, el gradiente de una función en R

3

es un vector

en R

2

, esto es, el gradiente de

f es un vector que habita en el dominio de f . Este

vector tiene un significado geométrico muy interesante, como se describe en los

dos teoremas enunciados a continuación.

Teorema 1. Sea

z = f (x, y) una superficie en R

3

. En cada punto interior

P (x

0

, y

0

) del dominio de f, el gradiente ∇f(x

0

, y

0

) es un vector perpendicular a la

curva de nivel de

f que contiene a P .

115



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