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Capítulo 1

El Espacio R

n

iii) 3 es la componente escalar de −

v en la dirección ˆı

iv) 2 es la componente escalar de −

v en la dirección ˆ

Interpretación geométrica de los vectores en el espacio R

3

Los resultados anteriores pueden extenderse fácilmente para vectores en el

espacio R

3

, como se presenta a continuación.

Definición. Dados dos puntos

A(x

1

, y

1

, z

1

) y B(x

2

, y

2

, z

2

) en el espacio, el

vector −

v que va de A a B es el vector

v =

−→

AB = (x

2

− x

1

, y

2

− y

1

, z

2

− z

1

).

Por otra parte, la base canónica en R

3

son los vectores

ˆı = (1, 0, 0),

ˆ

 = (0, 1, 0),

ˆ

k = (0, 0, 1),

mostrados en la siguiente figura.

14


1.1

Vectores

En términos de estos vectores base, cualquier vector −

v = (x, y, z) en R

3

puede

expresarse como

v = xˆı + yˆ

 + zˆ

k.

Ejemplos:

1. Dibuja el vector −

v = ˆı + 2ˆ

 + 3ˆ

k

2. Dibuja los vectores −

a = ˆı + 2ˆ

,

b = 3ˆ

k y −

c = −

a +

b .

Norma de un vector en R

n

Como ya se mencionó, una de las dos características de un vector es su longitud,

también conocida como su norma. Para vectores en R

n

la norma se determina a

partir del teorema de Pitágoras generalizado, como se define a continuación.

Definición. La norma, o magnitud, de un vector −

v = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R

n

es

el número real no negativo −

v

dado por

v

=

x

2

1

+ x

2

2

+ . . . + x

2

n

.

15



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