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Capítulo 1

El Espacio R

n

Así, por ejemplo, de acuerdo con la propiedad d), para vectores arbitrarios −

v , −

w ,

se tiene

3−

v − 5−

w

=

3−

v + 5−

w ,

3−

v − 5−

w

=

3−

v − 5−

w .

Definición. La distancia euclidiana

d(A, B) entre dos puntos A(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

y

B(b

1

, b

2

, . . . , b

n

) en R

n

está dada por

d(A, B) =

(b

1

− a

1

)

2

+ (b

2

− a

2

)

2

+ · · · + (b

n

− a

n

)

2

.

Esta es una generalización del teorema de Pitágoras en

n dimensiones. Más

generalmente, si denotamos por −

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) al vector

−→

OA que va del

origen al punto

A(a

1

, a

2

, . . . , a

n

) y por

b = (b

1

, b

2

, . . . , b

n

) al vector

−−→

OB que va

del origen al punto

B(b

1

, b

2

, . . . , b

n

), entonces la distancia d(A, B) entre los puntos

A y B es la norma del vector que los une, es decir,

d(A, B) = d(−

a ,

b ) =

b − −

a

= −

a −

b

.

Propiedades de la distancia euclidiana

Sean −

a ,

b , −

c ∈ R

n

. Entonces,

a)

d(−

a ,

b ) ≥ 0

b)

d(−

a ,

b ) = 0

a =

b

c)

d(−

a ,

b ) = d(

b , −

a ) Simetría

d)

d(−

a ,

b ) + d(

b , −

c ) ≥ d(−

a , −

c ) Desigualdad del triángulo

A un conjunto

X con una función distancia d : X × X → R que satisface estas

propiedades se le llama espacio métrico. En particular, el espacio R

n

es un espacio

métrico.

18



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