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Capítulo 1

El Espacio R

n

Producto punto

Definición. El producto escalar producto punto, −

a ·

b , de dos vectores −

a y

b en el plano R

2

, o en el espacio R

3

, es el escalar

a ·

b = −

a

b

cos θ,

donde

θ es el ángulo entre −

a y

b , con 0 ≤ θ ≤ π.

Observa que −

a ·

b no es un vector, sino un escalar. Geométricamente,

a ·

b representa el producto de la norma de cualquiera de los dos vectores por

la componente del otro vector en la dirección de éste, como se muestra en las

siguientes figuras.

a ·

b = −

a

b

cos θ

a ·

b =

b

( −

a cos θ)

La siguiente tabla resume algunos casos especiales.

θ

a ·

b = −

a

b

cos θ

Vectores paralelos

0

a

b

valor máximo

Vectores perpendiculares

π

2

0

Vectores antiparalelos

π

− −

a

b

valor mínimo

Observa que, de acuerdo con la definición, el producto punto es conmutativo, es

decir,

a ·

b =

b · −

a .

22



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