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1.1

Vectores

en donde

θ denota el ángulo entre −

a y

b . Nota que esta igualdad se reduce al

teorema de Pitágoras en el caso particular

θ = π/2 . El término −

a

b

cos θ en

el lado derecho es precisamente el producto punto −

a ·

b entre −

a y

b , es decir,

c

2

= −

a

2

+

b

2

− 2 a · b,

de modo que

a ·

b =

a

2

+

b

2

− −

c

2

2

.

Para el caso particular de vectores −

a = a

1

ˆı+ a

2

ˆ

 y

b = b

1

ˆı+ b

2

ˆ

 en R

2

, el vector

c =

b − −

a está dado por −

c = (b

1

− a

1

)ˆı + (b

2

− a

2

, de modo que

a ·

b =

(a

2

1

+ a

2

2

) + (b

2

1

+ b

2

2

) − (b

1

− a

1

)

2

+ (b

2

− a

2

)

2

2

.

Desarrollando cuadrados en el numerador es posible simplificar varios términos,

quedando simplemente,

a ·

b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

.

De esta manera, el cálculo de −

a ·

b se reduce a multiplicar término a término las

componentes escalares de −

a y

b . Similarmente, es posible demostrar que en el

caso de vectores −

a = a

1

ˆı + a

2

ˆ

 + a

3

ˆ

k y

b = b

1

ˆı + b

2

ˆ

 + b

3

ˆ

k en R

3

el producto

punto está dado por

a ·

b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

.

El resultado anterior puede extenderse muy fácilmente para cualesquiera dos

vectores en R

n

, como se enuncia en el siguiente teorema.

Teorema. El producto escalar, o producto punto, −

a ·

b , de dos vectores

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) y

b = (b

1

, b

2

, . . . , b

n

) en R

n

es el escalar

a ·

b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ · · · + a

n

b

n

.

Ejemplos:

1. Calcula −

x · −

y , si −

x = (−1, −3, 0) y −

y = (2, 1, −3).

En este caso,

x · −

y = (−1)(2) + (−3)(1) + (0)(−3) = −5.

25



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