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Capítulo 1

El Espacio R

n

2. Demuestra que los vectores −

u = 2ˆı + 3ˆ

 y −

v = −6ˆı+ 4ˆ son perpendiculares

entre sí.

Como

u · −

v = (2)(−6) + (3)(4) = 0,

por lo tanto −

u ⊥−

v .

3. Escribe el ingreso

I = p

1

q

1

+ p

2

q

2

+ · · · + p

n

q

n

como un producto punto de

vectores.

El ingreso

I puede expresarse como I = −

p · −

q , donde −

p = (p

1

, p

2

, . . . , p

n

) es

el vector de precios y −

q = (q

1

, q

2

, . . . , q

n

) es el vector de cantidades.

4. Sean −

a = ˆı + 2ˆ

 + 3ˆ

k y

b = 4ˆı − ˆ + ˆk. Calcula el vector

v =

a −

b

a ·

b

ˆa.

Por una parte, como −

a −

b = −3ˆı+ 3ˆ+ 2ˆk, por lo tanto,

a −

b

=

9 + 9 + 4 =

22.

Por otra parte,

a ·

b = 4 − 2 + 3 = 5.

Por último, como −

a

=

1 + 4 + 9 =

14, por lo tanto

ˆa =

1

14

ˆı+2ˆ

 + 3ˆ

k .

De esta manera,

v =

a −

b

a ·

b

ˆa =

22 (5)

1

14

ˆı+2ˆ

 + 3ˆ

k

=

5

11

7

ˆı +

10

11

7

ˆ

 +

15

11

7

ˆ

k.

5. Encuentra un vector −

w ∈ R

2

que tenga norma

5 y sea perpendicular a

v = 3ˆı + 2ˆ

.

Sea −

w = xˆı + yˆ

 el vector que buscamos, representado en la siguiente figura.

26



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