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1.1

Vectores

De acuerdo con el enunciado, −

w debe satisfacer las siguientes dos condiciones

w

=

x

2

+ y

2

= 5,

w · −

v

= (3)(x) + (2)(y) = 0.

De la segunda condición se tiene

y = −3x/2, que sustituido en la primera

condición implica

x

2

+

9

4

x

2

= 5.

De este modo,

x = ±

10

13

. Así, existen dos vectores −

w

1

y −

w

2

que satisfacen las

condiciones del problema, −

w

1

=

10

13

ˆı −

15

13

ˆ

 y −

w

2

= −

10

13

ˆı +

15

13

ˆ

.

Propiedades del producto escalar

Para todos −

a ,

b , −

c ,

d ∈ R

n

y

α ∈ R se cumplen las siguientes propiedades:

1. −

a · −

a ≥ 0 y −

a · −

a = 0 si y sólo si −

a = −

0 .

2. −

a ·

b =

b · −

a

3.

(α−

a ) ·

b = −

a · α

b

= α −

a ·

b

4. −

a · (

b + −

c ) = −

a ·

b + −

a · −

c

5.

(−

a +

b ) · (−

c +

d ) = −

a · −

c + −

a ·

d +

b · −

c +

b ·

d

6. −

a ·

b ≤ −

a

b

Desigualdad de Cauchy-Schwarz

De la propiedad 6 se sigue un resultado interesante. Para ello, reescribimos la

desigualdad de Cauchy-Schwarz de la siguiente manera

a ·

b

a

b

− −

a

b

≤ −

a ·

b ≤ −

a

b

− −

a

b

a

b

cos θ ≤ −

a

b

−1 ≤ cos θ ≤ 1,

que permite generalizar el concepto de ángulo entre dos vectores en el espacio R

n

,

como lo establece la siguiente definición.

Definición. El ángulo

θ entre dos vectores no nulos −

a ,

b ∈ R

n

está dado por

θ = cos

−1

a ·

b

a

b

 ,

0 ≤ θ ≤ π.

27



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