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Capítulo 1

El Espacio R

n

Ejemplos:

1. Encuentra el ángulo entre los vectores −

x = ˆı + ˆ

 y −

y = ˆı.

Como −

x =

2, −

y

= 1 y −

x · −

y = 1, por lo tanto θ = cos

−1

1

2

=

π

4

.

2. Encuentra el ángulo entre los vectores −

x = −ˆı− 2ˆy −

y = 2ˆı − ˆ+ 3ˆk.

Como

x

=

5, −

y

=

14 y −

x · −

y = 0, por lo tanto

θ = cos

−1

0

5

14

=

π

2

. Concluimos entonces que −

x ⊥−

y .

Por otra parte, en relación con el concepto de perpendicularidad, y en

vista que los vectores base canónicos en R

3

son todos unitarios, es decir,

ˆı = ˆ

 = ˆ

k = 1, se obtiene el siguiente resultado:

ˆı · ˆı = ˆ· ˆ = ˆk · ˆk = 1

ˆı · ˆ = ˆ· ˆk = ˆk · ˆı = 0

Utilizando este resultado, junto con la propiedad 5 del producto escalar, podemos

llevar a cabo una diversidad de manipulaciones algebraicas. Por ejemplo, sin hacer

uso de la ley de los cosenos podemos demostrar que −

a ·

b = a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

,

para −

a y

b en R

3

, de la siguiente manera:

a ·

b = a

1

ˆı + a

2

ˆ

 + a

3

ˆ

k · b

1

ˆı + b

2

ˆ

 + b

3

ˆ

k

= a

1

b

1

(ˆı · ˆı) + a

1

b

2

(ˆı · ˆ) + a

1

b

3

ˆı · ˆk

+a

2

b

1

 · ˆı) + a

2

b

2

 · ˆ) + a

2

b

3

ˆ

 · ˆk

+a

3

b

1

ˆ

k · ˆı + a

3

b

2

ˆ

k · ˆ + a

3

b

3

ˆ

k · ˆk

= a

1

b

1

+ a

2

b

2

+ a

3

b

3

.

Asimismo, tomando en cuenta que el producto punto de un vector −

a consigo

mismo está dado por −

a · −

a = −

a

a

cos 0 = −

a

a

(1) = −

a

2

, se

tiene

a

=

√−→

a · −

a .

28



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