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Capítulo 1

El Espacio R

n

La figura de la izquierda muestra la evolución de cada una de las coordenadas

x(t)

y

y(t) al incrementarse t. La figura de la derecha presenta el mismo razonamiento

pero en un lenguaje vectorial, considerando para cada

t la evolución del vector de

posición

r (t) = x(t) ˆı + y(t) ˆ

.

Definición. Una curva paramétrica trayectoria es una función vectorial,

r : S ⊂ R → R

n

, que a cada número

t ∈ S le asigna un único vector −

r (t) ∈ R

n

.

De acuerdo con nuestra discusión anterior, en el caso del plano R

2

una curva

paramétrica se representa mediante una función vectorial −

r : R → R

2

, de la forma

r (t) = x(t) ˆı + y(t) ˆ

,

en donde

x y y son funciones del parámetro t en R. Similarmente, en el caso del

espacio R

3

una curva paramétrica se representa mediante una función vectorial

r : R → R

3

, de la forma

r (t) = x(t) ˆı + y(t) ˆ

 + z(t) k,

en donde

x, y y z son funciones del parámetro t en R. Un argumento similar

se sigue para curvas en R

n

,

n ≥ 4. Cabe mencionar, por último, que la

parametrización de una curva no es única, como se ilustra en el ejemplo 2 a

continuación.

Ejemplos:

1. Identifica la curva −

r (t) = x(t) ˆı + y(t) ˆ

 en R

2

, con

x(t) = 1 + t

y(t) = 2 + t,

t ∈ R.

Asignando diferentes valores al parámetro

t se obtiene la recta mostrada en la

figura.

30



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