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1.2

Curvas paramétricas. Vector tangente a una curva paramétrica

Efectivamente, al eliminar el parámetro

t en el sistema x = 1 + t, y = 2 + t, se

obtiene la ecuación cartesiana de esta curva, dada por la recta

y = x + 1.

2. Identifica la curva −

r (s) = x(s) ˆı + y(s) ˆ

 en R

2

, con

x(s) = 1 − s

y(s) = 2 − s,

s ∈ R.

Eliminando el parámetro

s en el sistema x(s) = 1 − s, y(s) = 2 − s, se obtiene

la ecuación cartesiana

y = x + 1, de modo que se trata de la misma curva que

en ejemplo 1.

3. Identifica la curva −

r (θ) = x(θ) ˆı + y(θ) ˆ

 en R

2

, con

x(θ) = r cos θ

y(θ) = r sen θ,

0 ≤ θ < 2π,

r > 0 constante.

Aquí no es fácil eliminar el parámetro

θ mediante métodos algebraicos. En lugar

de esto, conviene utilizar identidades trigonométricas, de la siguiente manera.

Tomando en cuenta que

cos

2

θ + sen

2

θ = 1, se tiene

x

r

2

+

y

r

2

= 1. Así, la

ecuación cartesiana de la curva en este caso corresponde a la circunferencia

x

2

+ y

2

= r

2

,

como se muestra en la figura. Ahí se ilustra cómo se van generando los puntos

de esta curva a medida que va cambiando el parámetro

θ.

4. Identifica la curva −

r (θ) = x(θ) ˆı + y(θ) ˆ

 + z(θ) ˆ

k en R

3

, con

x(θ) = cos θ

y(θ) = senθ

z(θ) = 3,

0 ≤ θ < 2π.

Para la curva −

r (θ) = cos θ ˆı + senθ ˆ

 + 3 ˆ

k, 0 ≤ θ < 2π, las primeras dos

componentes describen una circunferencia, mientras que la tercera permanece

31



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