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Prólogo

Este documento constituye un material de apoyo para el curso de Cálculo II para

las carreras de Economía y Dirección Financiera en el ITAM. Se trata de una

recopilación de mis notas de clase, con el fin de agilizar la discusión de los temas

en el aula. El material se presenta en estricto apego al orden del temario vigente,

aunque es discutido bajo un enfoque personal y en un lenguaje un tanto coloquial.

Estas notas no pretenden sustituir la lectura de la bibliografía seleccionada para

el curso. Están basadas en el material extraído precisamente de esos textos, así

como de documentos y libros escritos por mis colegas y amigos del Departamento

de Matemáticas del ITAM. En particular, tomé prestados varios conceptos y

ejemplos del Documento de Trabajo Matemáticas IV, elaborado por Guillermo

Pastor. Para algunos temas de optimización, me basé en el libro Métodos Dinámicos

en Economía: Otra Búsqueda del Tiempo Perdido, de Héctor Lomelí y Beatriz

Rumbos. Muy especialmente, quiero expresar mi gratitud y gran admiración por

Knut Sydsaeter, de la Universidad de Oslo, quien fue el autor de una colección

maravillosa de textos de matemáticas para economistas. De él aprendí mucho,

aunque nunca tuve el privilegio de conocerlo. Estuve a punto de hacerlo, en

un taller de matemáticas que él iba a impartir en México. Desafortunadamente,

Sydsaeter falleció en un accidente en octubre de 2012, faltando una semana para su

visita a este país.

Se espera que el estudiante resuelva una gran variedad de ejercicios, que no han

sido incluidos en este documento debido a su extensión. Al respecto, el estudiante

puede utilizar el Documento de Trabajo Cálculo II, Cuaderno de Ejercicios,

Lorena Zogaib, Departamento de Matemáticas, ITAM, enero 12 de 2015.

Agradezco todas las sugerencias y correcciones que he recibido de mis colegas

y varias generaciones de estudiantes. Me han enriquecido mucho los comentarios

de mis amigos Carmen López y Ramón Espinosa. Igualmente importantes han sido

las observaciones de las varias generaciones de alumnos que han consultado estas

notas. Especialmente, estoy muy agradecida con Francisco Contreras Marroquín,

quien estudió Ciencia Política en el ITAM, por sus valiosas aportaciones en

relación con el capítulo de Optimización.

De antemano ofrezco una disculpa al lector por los errores y omisiones que

encuentre en este texto. Siempre serán bienvenidas las correcciones y cualquier

comentario que me hagan llegar.

Lorena Zogaib

4


Capítulo 1

El Espacio

R

n

1.1 Vectores

Considera los precios

p

1

, p

2

, . . . , p

n

de

n bienes. Conviene representar este

conjunto de precios por

(p

1

, p

2

, . . . , p

n

)

o bien

p

1

p

2

..

.

p

n

Un conjunto ordenado de números como éste, que se caracteriza no sólo por

los elementos que lo constituyen sino por el orden en que están colocados, se

llama un vector n-vector. Nota que un vector con una sola componente es

un simple número real, también denominado un escalar. La representación

del lado izquierdo se conoce como vector renglón, mientras que la del lado

derecho es un vector columna. Por lo general utilizaremos la representación

de vector renglón a lo largo de este texto, con excepción de algunos temas de

los capítulos 3 y 6.

Hay varias maneras cortas de designar el vector de precios

(p

1

, p

2

, . . . , p

n

),

por ejemplo,

p = (p

1

, p

2

, . . . , p

n

),

p

= (p

1

, p

2

, . . . , p

n

),

p = (p

1

, p

2

, . . . , p

n

), . . .

La primera de éstas, −

p , utiliza una flechita encima del nombre del vector,

y esto está relacionado con su significado geométrico, como discutiremos

un poco más adelante en esta sección. Aquí adoptaremos precisamente esa

notación para designar cualquier

n-vector arbitrario (a

1

, a

2

, . . . , a

n

), es decir,

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

),

a ∈ R

n

.

Los números

a

1

, a

2

, . . . , a

n

se llaman las componentes escalares del vector

a , y decimos que a

i

es la i-ésima componente de −

a . La notación −

a ∈ R

n

indica que cada una de las

n componentes del vector −

a es un escalar en el

campo de los reales, R.

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