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1.2

Curvas paramétricas. Vector tangente a una curva paramétrica

De esta manera, la canasta óptima depende del nivel de ingreso

I, es decir,

(x

1

, x

2

) = (x

1

(I), x

2

(I)).

Aquí el ingreso

I es un parámetro que al cambiar de valor hace que el punto

óptimo

(x

1

(I), x

2

(I)) se mueva a lo largo de distintas curvas de indiferencia. La

trayectoria que sigue la canasta óptima como función del parámetro

I se conoce

como curva de ingreso-consumo o senda de expansión del consumo

.

La curva de ingreso-consumo es la curva paramétrica −

r : R → R

2

que para

cada valor del ingreso

I ∈ R

+

le asigna una canasta óptima −

r ∈ R

2

, dada por

r (I) = x

1

(I) ˆı + x

2

(I) ˆ

.

Como una curva paramétrica −

r (t) es función del parámetro t, tiene sentido

preguntarse sobre su razón de cambio o derivada,

d−

r /dt, con respecto al parámetro

t. Para ello, primero necesitaríamos definir los conceptos de límite y continuidad,

cuya definición formal omitiremos aquí.

Definición. Sea −

r (t) una función vectorial, con −

r : S ⊂ R → R

n

. La derivada

de −

r (t) con respecto a t es la función vectorial d−

r /dt dada por

d−

r (t)

dt

= l´ım

t→0

r (t + ∆t) − −

r (t)

∆t

,

cuando este límite existe.

Como se ilustra en la siguiente figura, de esta definición se sigue que el vector

d−

r /dt es un vector tangente a la curva −

r (t), para cada t.

33



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