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Capítulo 1

El Espacio R

n

Observa que el vector tangente

d−

r /dt no necesariamente es perpendicular a la

curva −

r (t) en cada valor del parámetro t.

El cálculo de la derivada

d−

r /dt es muy sencillo. Por ejemplo, para una función

vectorial −

r (t) = f (t) ˆı + g(t) ˆ

 + h(t) ˆ

k en R

3

, se tiene

d−

r (t)

dt

=

l´ım

t→0

r (t + ∆t) − −

r (t)

∆t

=

l´ım

t→0

f (t + ∆t) ˆı + g(t + ∆t) ˆ

 + h(t + ∆t) ˆ

k − f(t)ˆı+ g(t) ˆ+ h(t) ˆk

∆t

=

l´ım

t→0

f (t + ∆t) − f(t)

∆t

ˆı + l´ım

t→0

g(t + ∆t) − g(t)

∆t

ˆ

 + l´ım

t→0

h(t + ∆t) − h(t)

∆t

ˆ

k

=

df (t)

dt

ˆı +

dg(t)

dt

ˆ

 +

dh(t)

dt

ˆ

k,

siempre y cuando

f, g y h sean todas funciones diferenciables de t.

Teorema. Sea −

r (t) = f

1

(t)e

1

+ f

2

(t)e

2

+ . . . + f

n

(t)e

n

una función vectorial

en R

n

, con

(f

1

, f

2

, . . . , f

n

) : R → R derivables y e

1

, . . . e

n

la base canónica en R

n

.

La derivada de −

r (t) con respecto a t es la función vectorial d−

r /dt dada por

d−

r (t)

dt

=

df

1

(t)

dt

e

1

+

df

2

(t)

dt

e

2

+ . . . +

df

n

(t)

dt

e

n

.

Ejemplos:

1. Encuentra la derivada de −

r (t) = te

−3(t−1)

ˆı + (t ln t) ˆ

, t > 0, en t = 1.

Para cada

t > 0 la derivada d−

r (t)/dt es la función vectorial

d−

r (t)

dt

= (1 − 3t) e

−3(t−1)

ˆı + (1 + ln t) ˆ

.

Así, en

t = 1 se tiene

d−

r (t)

dt

t=1

= −2ˆı+ ˆ.

2. Encuentra un vector tangente a la circunferencia −

r (θ) = cos θ ˆı + senθ ˆ

 en el

punto correspondiente a

θ = 0. Ilustra con una figura.

Por una parte, el punto correspondiente a

θ = 0 es

r(0) = ˆı.

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