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1.3

Rectas en el espacio. Segmento de recta

1.3 Rectas en el espacio. Segmento de recta

Estamos acostumbrados a escribir la ecuación de la recta como

y = mx + b,

donde

m representa la pendiente o dirección de la recta y b su ordenada al origen.

Sin embargo, esta forma para la ecuación de la recta sólo es válida para rectas

en el plano R

2

. En el caso general de rectas en R

n

su ecuación ya no puede

expresarse en términos de una sola pendiente, sino que es necesario tomar en

cuenta la orientación de la recta en relación con cada uno de los

n diferentes ejes

coordenados (cosenos directores). Una manera sencilla de introducir la orientación

es utilizando vectores, lo que nos llevará a una representación paramétrica para la

recta, como se expone a continuación.

Para encontrar la ecuación de una recta

L en el espacio general R

n

basta con

proporcionar algún punto conocido

P

0

de la recta y un vector −

v que sea paralelo

al conjunto de puntos

P de la recta.

La recta

L es el lugar geométrico de todos los puntos P en R

n

tales que

−−→

P

0

P es

paralelo al vector de dirección −

v ∈ R

n

, es decir,

−−→

P

0

P −

v .

Esto que implica que ambos vectores son múltiplos entre sí, de modo que existe

algún escalar

t ∈ R, tal que

−−→

P

0

P = t−

v .

Esta última ecuación puede expresarse de manera alternativa, introduciendo un

origen de coordenadas,

O, a partir del cual los puntos P

0

y

P están localizados por

los vectores de posición

x

0

=

−−→

OP

0

y −

x =

−→

OP .

37



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