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Capítulo 1

El Espacio R

n

De esta manera, se tiene

−−→

P

0

P = −

x − −

x

0

,

de modo que la ecuación de la recta se convierte en

x − −

x

0

= t−

v ,

o, equivalentemente,

x = −

x

0

+ t−

v .

Definición. La ecuación vectorial paramétrica de la recta en R

n

que contiene

al punto −

x

0

∈ R

n

y es paralela al vector no nulo −

v ∈ R

n

es

x = −

x

0

+ t−

v ,

donde −

x ∈ R

n

y

t ∈ R.

La ecuación vectorial paramétrica de una recta también puede escribirse en

términos de sus componentes escalares. En el caso particular de una recta en R

3

, si

v = aˆı + bˆ

 + cˆ

k denota el vector de dirección, −

x

0

= x

0

ˆı + y

0

ˆ

 + z

0

ˆ

k el punto

conocido y −

x = xˆı + yˆ

 + zˆ

k el punto libre de la recta, la ecuación vectorial

x = −

x

0

+ t−

v se convierte en

xˆı+yˆ

+zˆ

k = (x

0

ˆı+y

0

ˆ

+z

0

ˆ

k)+t( aˆı+bˆ

+cˆ

k) = (x

0

+ at) ˆı+(y

0

+ bt) ˆ

+(z

0

+ ct) ˆ

k.

Igualando término a término ambos lados de la ecuación se obtienen tres

ecuaciones escalares, conocidas como las ecuaciones paramétricas de la recta.

Definición. Las ecuaciones escalares paramétricas de la recta en R

3

que

contiene al punto

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) y es paralela al vector no nulo −

v = aˆı + bˆ

 + cˆ

k

son

x = x

0

+ at, y = y

0

+ bt, z = z

0

+ ct,

t ∈ R.

Similarmente, las ecuaciones escalares de una recta en R

2

son

x = x

0

+ at, y = y

0

+ bt,

t ∈ R.

Ejemplos:

1. Escribe la ecuación vectorial paramétrica de la recta en R

2

que contiene al punto

x

0

= ˆı + 2ˆ

 y es paralela al vector −

v = ˆı + ˆ

. Luego escribe las ecuaciones

escalares paramétricas de esta recta.

La ecuación vectorial es −

x = −

x

0

+ t−

v = (ˆı + 2ˆ

) + t (ˆı + ˆ

), esto es

x = (ˆı + 2ˆ

) + t (ˆı + ˆ

) ,

t ∈ R.

38



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