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1.3

Rectas en el espacio. Segmento de recta

Las ecuaciones escalares son

x = 1 + t, y = 2 + t,

t ∈ R.

Observa que ésta es la misma recta que la del ejemplo 1 de la sección 1.2.

2. Halla las ecuaciones escalares paramétricas de la recta en R

3

con la información

dada:

a) Contiene al punto

P (1, −2, 7) y es paralela al vector −

v = 5ˆı + 3ˆ

 − ˆk.

En este caso, se tiene simplemente

x = 1 + 5t, y = −2 + 3t, z = 7 − t,

t ∈ R.

b) Contiene al origen y es paralela al vector −

v = 4ˆı − 3ˆ.

Como el origen es el punto

O(0, 0, 0), por lo tanto las ecuaciones son

x = 4t, y = −3t, z = 0,

t ∈ R.

c) Contiene al punto

Q(1, 2, 3) y es paralela al eje y.

Podemos tomar −

v = ˆ

 (o cualquier múltiplo de éste), de modo que

x = 1, y = 2 + t, z = 3,

t ∈ R.

3. Encuentra las ecuaciones escalares paramétricas de la recta que contiene los

puntos

A(−2, 1, 4) y B(−1, 0, 3). Asimismo, proporciona algunos otros puntos

contenidos en esta recta.

Podemos tomar, por ejemplo, −

v =

−→

AB = ˆı − ˆ− ˆk, y el punto conocido puede

ser tanto

A como B. Así, cualquiera de las siguientes respuestas es válida

x = −2 + t, y = 1 − t, z = 4 − t,

t ∈ R,

x = −1 + t, y = −t, z = 3 − t,

t ∈ R.

Por otra parte, para obtener cualquiera de los puntos de esta recta basta con

asignar valores arbitrarios al parámetro

t. Así, por ejemplo, si en la primer

respuesta tomamos

t = 2 obtenemos el punto P

1

(0, −1, 2), o bien, si tomamos

t = −1 generamos el punto P

2

(−3, 2, 5), etc. Nota que el punto A se obtiene

cuando

t = 0, y el punto B, cuando t = 1.

4. Encuentra las ecuaciones escalares paramétricas de la recta tangente a la curva

r (α) = α ˆı + α

2

ˆ

 en R

2

,

α ∈ R, en el punto con α = 1.

Primero notamos que un punto conocido −

x

0

de la recta tangente es,

precisamente, su punto de tangencia con la curva −

r (α) en α = 1, es decir,

x

0

= −

r (1) = (1, 1).

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