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Capítulo 1

El Espacio R

n

Por ejemplo, la forma simétrica de las ecuaciones

x = 1 + 3t, y = 4t, z = −5 − 2t,

t ∈ R,

está dada por

x − 1

3

=

y

4

=

z + 5

−2

.

Nota que esta última no es una ecuación, sino más bien son tres ecuaciones, a

saber,

x − 1

3

=

y

4

,

y

4

=

z + 5

−2

y

x − 1

3

=

z + 5

−2

.

Cuando alguna de las componentes del vector −

v es igual a cero, es posible aún

contar con una forma simétrica para la ecuación de la recta correspondiente, de la

siguiente manera:

caso:

forma simétrica:

a = 0

y − y

0

b

=

z − z

0

c

,

x = x

0

b = 0

x − x

0

a

=

z − z

0

c

,

y = y

0

c = 0

x − x

0

a

=

y − y

0

b

,

z = z

0

Vale la pena señalar que en el caso particular de rectas en R

2

la correspondiente

forma simétrica,

x − x

0

a

=

y − y

0

b

,

puede reescribirse como

y =

b

a

(x − x

0

) + y

0

,

que es precisamente la ecuación punto-pendiente de la recta (

m = b/a), con la que

seguramente estás familiarizado. No olvides, sin embargo, que este resultado sólo

es válido para rectas en R

2

. Así, por ejemplo, para la recta

x = 1 + 3t

y = −2 − 5t,

t ∈ R,

cuya ecuación en su forma simétrica es

x − 1

3

=

y + 2

−5

,

se obtiene la ecuación cartesiana

y = −

5

3

x −

1

3

.

42



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