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Capítulo 1

El Espacio R

n

Operaciones con vectores

Definición. Dos vectores −

a y

b son iguales equivalentes si todas sus

componentes son iguales. En ese caso, escribimos

a =

b .

Si el número de componentes, su valor numérico o su distribución son diferentes,

decimos que −

a =

b .

Ejemplo:

Sean −

x = (x, y, z) y −

a = (−1, 0, 3). Se tiene entonces que −

x = −

a si y sólo

si

x = −1, y = 0 y z = 3.

Definición. Sean −

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

),

b = (b

1

, b

2

, . . . , b

n

) ∈ R

n

y

β ∈ R.

a) El producto del escalar

β con el vector 

a es el vector β−

a ∈ R

n

, dado por

β−

a

= β(a

1

, a

2

, . . . , a

n

)

= (βa

1

, βa

2

, . . . , βa

n

).

b) La suma de los vectores −

a y

b es el vector −

a +

b ∈ R

n

, dado por

a +

b

= (a

1

, a

2

, . . . , a

n

) + (b

1

, b

2

, . . . , b

n

)

= (a

1

+ b

1

, a

2

+ b

2

, . . . , a

n

+ b

n

).

Ejemplo:

Sean −

a = (3, −2, 5) y

b = (−3, 0, 3). Así,

−2−

a

= −2(3, −2, 5) = (−6, 4, −10),

a +

b

= (3, −2, 5) + (−3, 0, 3) = (0, −2, 8).

Definición. Sean −

a = (a

1

, a

2

, . . . , a

n

),

b = (b

1

, b

2

, . . . , b

n

) ∈ R

n

. La resta o

diferencia de −

a con

b es el vector −

a −

b ∈ R

n

, dado por

a −

b

= −

a + (−1)

b

= (a

1

− b

1

, a

2

− b

2

, . . . , a

n

− b

n

).

6



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