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1.4

Planos e hiperplanos

Segmento de recta

Hemos visto ya que las ecuaciones paramétricas de una recta en el espacio

contienen un parámetro libre,

t ∈ R. Cada vez que t toma un valor diferente en los

reales, se genera un nuevo punto a lo largo de la recta infinita. Sin embargo, si en

lugar de tener la condición

t ∈ R, el parámetro t se limitara a tomar valores dentro

de un intervalo

t

1

≤ t ≤ t

2

en los reales, entonces éste ya no generaría todos los

puntos de la recta infinita, sino tan sólo un segmento de la recta.

Definición. Dada la recta

L en R

n

que contiene al punto −

x

0

∈ R

n

y es paralela

al vector no nulo −

v ∈ R

n

, la ecuación

x = −

x

0

+ t−

v ,

t

1

≤ t ≤ t

2

,

con

t

1

y

t

2

fijos, determina un segmento de la recta

L.

Ejemplo:

Halla la ecuación del segmento de la recta que une los puntos

P (−3, 2, −3) y

Q(1, −1, 4).

Lo más sencillo es definir el vector de dirección −

v como

v =

−→

P Q = 4ˆı − 3ˆ+ 7ˆk.

De esta manera, el segmento de recta que une a

P y Q queda descrito por

x = −3 + 4t, y = 2 − 3t, z = −3 + 7t,

0 ≤ t ≤ 1.

En efecto, cuando

t = 0 se obtiene el punto P , cuando t = 1 se obtiene el punto Q

y para

0 < t < 1 se generan todos los puntos intermedios entre P y Q.

1.4 Planos e hiperplanos

Se trata de encontrar la ecuación del plano

π en el espacio R

3

que contiene a un

punto conocido

P

0

y es perpendicular a un vector normal no nulo, −

n . En ese caso,

π es el conjunto de puntos P para los cuales se cumple que

−−→

P

0

P ⊥ −

n .

43



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