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Capítulo 1

El Espacio R

n

En otras palabras,

n ·

−−→

P

0

P = 0.

Introduciendo un origen de coordenadas,

O, se puede definir los vectores −

x =

−→

OP

y −

x

0

=

−−→

OP

0

, de modo que

−−→

P

0

P = −

x − −

x

0

. Así, la condición anterior se convierte

en

n · (−

x − −

x

0

) = 0.

Definición. La ecuación del plano que contiene al punto −

x

0

∈ R

3

y es

perpendicular al vector no nulo −

n ∈ R

3

es

n · (−

x − −

x

0

) = 0.

La forma −

n · (−

x − −

x

0

) = 0 para la ecuación del plano puede reescribirse en

términos más simples si se conocen las componentes de los vectores −

n y −

x

0

. En

efecto, si se sabe que −

n = aˆı+ bˆ

 + cˆ

k, −

x

0

= x

0

ˆı+ y

0

ˆ

 + z

0

ˆ

k y −

x = xˆı+ yˆ

 + zˆ

k,

entonces

x − −

x

0

= (x − x

0

)ˆı + (y − y

0

 + (z − z

0

k.

De esta manera, la ecuación del plano está dada por

n · (−

x − −

x

0

) =

aˆı + bˆ

 + cˆ

k · (x − x

0

)ˆı + (y − y

0

 + (z − z

0

k

= a(x − x

0

) + b(y − y

0

) + c(z − z

0

) = 0.

Definición. La ecuación cartesiana del plano en R

3

que contiene al punto

P

0

(x

0

, y

0

, z

0

) y es perpendicular al vector no nulo −

n = aˆı + bˆ

 + cˆ

k es

a(x − x

0

) + b(y − y

0

) + c(z − z

0

) = 0.

44



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