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1.4

Planos e hiperplanos

Por ejemplo, la ecuación del plano que contiene al punto

P (1, 0, −3) y es

perpendicular al vector −

n = 5ˆı + ˆ

 − 2ˆk se obtiene de

(5)(x − 1) + (1)(y − 0) + (−2)(z − (−3)) = 0.

Llevando a cabo las operaciones algebraicas correspondientes, esta ecuación se

reduce a

5x + y − 2z = 11.

De acuerdo con el resultado anterior, la ecuación de un plano en R

3

siempre

puede llevarse a la forma general

ax + by + cz = d,

donde

a, b y c son las componentes del vector normal al plano, y d = ax

0

+by

0

+cz

0

es una constante.

Ejemplos:

1. Proporciona tres puntos contenidos en el plano

3x + 2y + 4z = 12 en R

3

.

Los puntos se obtienen simplemente al encontrar tres valores

x, y y z que

satisfagan la ecuación

3x + 2y + 4z = 12. Por ejemplo, están los puntos

P

1

(2, 3, 0), P

2

(0, 0, 3) y P

3

(0, −2, 4).

2. Encuentra la ecuación cartesiana del plano que contiene a los puntos

A(1, 1, 1),

B(2, 1, 3) y C(3, 2, 1).

El vector normal −

n es perpendicular a cualesquiera dos vectores no paralelos en

el plano. Por ejemplo, si se consideran los vectores

−→

AB = ˆı+ 2ˆ

k y

−→

AC = 2ˆı+ ˆ

,

y se define −

n = xˆı + yˆ

 + zˆ

k, se tiene

−→

AB · −

n = (1, 0, 2) · (x, y, z) = 0

−→

AC · −

n = (2, 1, 0) · (x, y, z) = 0

es decir,

x + 2z = 0

2x + y = 0.

Tomando, por ejemplo,

z = 1, obtenemos

x = −2, y = 4, z = 1.

De esta manera,

n = −2ˆı+ 4ˆ+ ˆk, o algún múltiplo de éste.

45



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