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Capítulo 1

El Espacio R

n

que representa un plano en el espacio de cantidades

q

1

q

2

q

3

, con vector normal

dado por el vector de precios −

p = (p

1

, p

2

, p

3

).

7. Otro ejemplo bonito es el de la ecuación de costo lineal

C = wL + rK,

para cada nivel de trabajo

L y de capital K, con precios unitarios dados por el

salario

w y la tasa de interés r, respectivamente. Nota que la ecuación para el

costo presenta la forma

wL + rK − C = 0,

que representa un plano en el espacio

LKC, con vector normal −

n = (w, r, −1).

Por lo general, la gráfica de un plano de la forma

ax + by + cz = d en R

3

se construye a partir de las intersecciones de éste con los ejes coordenados. Por

ejemplo, la siguiente figura muestra la gráfica del plano

3x + 2y + 4z = 12.

Una gráfica como la anterior presupone que los coeficientes

a, b, c y d en la

ecuación

ax + by + cz = d son todos diferentes de cero. A continuación se muestra

la gráfica de algunos casos especiales, en donde uno o varios de los coeficientes

a, b o c pueda ser igual a cero.

48


1.4

Planos e hiperplanos

c = 0

ax + by = d

(

z libre)

b = 0

ax + cz = d

(

y libre)

a = 0

by + cz = d

(

x libre)

a = b = 0

cz = d

(

x, y libres)

a = c = 0

by = d

(

x, z libres)

49



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