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Capítulo 1

El Espacio R

n

Para pasar de la ecuación cartesiana del plano a su ecuación paramétrica, se

parametrizan dos de las tres variables,

x, y o z, como se muestra a continuación.

Ejemplo:

Encuentra la ecuación paramétrica del plano

x + 2y − z = 3 en R

3

.

Simplemente podemos proponer la parametrización

y = t y z = s, de modo que

x = 3 − 2t + s

y = t

z = s,

t, s ∈ R.

Estas ecuaciones pueden expresarse en forma vectorial como

x

y

z

 =

3

0

0

 + t

−2

1

0

 + s

1

0

1

 ,

t, s ∈ R,

que es de la forma −

x = −

x

0

+ t−

u + s−

v , con −

x

0

= 3ˆı, −

u = −2ˆı+ ˆy −

v = ˆı+ ˆ

k.

Es fácil demostrar que los vectores −

u y −

v son perpendiculares al vector normal

n = ˆı + 2ˆ

 − ˆk del plano x + 2y − z = 3.

Hiperplanos

La forma −

n · (−

x − −

x

0

) = 0 para la ecuación del plano no se limita al espacio

tridimensional R

3

, sino que es válida para espacios R

m

de dimensión mayor

(

m > 3). En este caso, al plano se le denomina hiperplano.

Definición. La ecuación del hiperpano que contiene al punto −

x

0

∈ R

m

y es

perpendicular al vector no nulo −

n ∈ R

m

es

n · (−

x − −

x

0

) = 0.

En particular, si

P

0

(x

0

1

, x

0

2

, . . . , x

0

m

) y −

n = (a

1

, a

2

, . . . , a

m

), la ecuación

cartesiana del hiperplano es

a

1

(x

1

− x

0

1

) + a

2

(x

2

− x

0

2

) + · · · + a

n

(x

m

− x

0

m

) = 0.

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