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1.5

Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

Ejemplos:

1. La ecuación del hiperplano en R

4

que contiene al punto

P

0

(1, −2, 0, 3) y es

normal al vector −

n = (5, 2, 3, −1) está dada por

5(x

1

− 1) + 2(x

2

− (−2)) + 3(x

3

− 0) − (x

4

− 3) = 0,

es decir,

5x

1

+ 2x

2

+ 3x

3

− x

4

= −2.

2. Un ejemplo en economía está dado por el hiperplano presupuestal,

p

1

x

1

+ p

2

x

2

+ · · · + p

n

x

n

= I,

o bien

p · −

x = I,

cuyo vector normal es el vector de precios, −

p = (p

1

, p

2

, . . . , p

n

).

1.5 Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

Aquí presentaremos algunas nociones básicas de topología, necesarias para

comprender el significado de los teoremas y conceptos que veremos más adelante

en el curso, particularmente en el tema de optimización de funciones en varias

variables.

Definición. Dado un punto −

x

0

∈ R

n

y un número real

δ > 0 la vecindad

V

δ

(−

x

0

) con centro en −

x

0

y radio

δ es el conjunto de todos los puntos −

x ∈ R

n

cuya distancia a −

x

0

es menor que

δ, es decir,

V

δ

(−

x

0

) = { −

x ∈ R

n

| ||−

x − −

x

0

|| < δ } .

Ejemplos:

1. Una vecindad en R es el conjunto

V

δ

(x

0

) = { x ∈ R | | x − x

0

| < δ }, que

representa un intervalo abierto en los reales, con radio

δ y centro en x

0

.

| x − x

0

| < δ

−δ < x − x

0

< δ

x

0

− δ < x < x

0

+ δ

53



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