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Capítulo 1

El Espacio R

n

2. Una vecindad en R

2

es el conjunto

V

δ

(−

x

0

) = { −

x ∈ R

2

| ||−

x − −

x

0

|| < δ },

que representa los puntos dentro de un círculo de radio

δ y centro en −

x

0

.

||−

x − −

x

0

|| < δ

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

< δ

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

< δ

2

3. Una vecindad en R

3

es el conjunto

V

δ

(−

x

0

) = { −

x ∈ R

3

| ||−

x − −

x

0

|| < δ },

que representa los puntos dentro de una esfera de radio

δ y centro en −

x

0

.

||−

x − −

x

0

|| < δ

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

+ (z − z

0

)

2

< δ

(x − x

0

)

2

+ (y − y

0

)

2

+ (z − z

0

)

2

< δ

2

Con base en los ejemplos anteriores, es claro por qué a una vecindad también se

le llama bola abierta.

Definición. Sea

A ⊂ R

n

y sea −

x

0

∈ R

n

. Decimos que:

a) −

x

0

es un punto interior de

A si existe un número δ > 0 tal que la vecindad

V

δ

(−

x

0

) está totalmente contenida en A.

b) −

x

0

es un punto exterior de

A si existe un número δ > 0 tal que la vecindad

V

δ

(−

x

0

) no contiene puntos de A.

c) −

x

0

es un punto frontera de

A si para todo número δ > 0 la vecindad V

δ

(−

x

0

)

contiene puntos de

A y puntos fuera de A. Los puntos frontera de A pueden, o no,

pertenecer a

A.

54



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