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1.5

Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

5.

A = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

> 1 }.

6.

A = {x ∈ R | a < x ≤ b } .

7.

A = {(x, y) ∈ R

2

| a < x ≤ b } .

8.

A = {(x, y) ∈ R

2

| a < x ≤ b, y = 0 }.

57


Capítulo 1

El Espacio R

n

Definición. Sea

A ⊂ R

n

. Se dice que

A es un conjunto abierto si A está

formado exclusivamente por puntos interiores, es decir, si para todo −

x ∈ A existe

V

δ

(−

x ) tal que V

δ

(−

x ) ⊂ A.

En otras palabras, se dice que

A es un conjunto abierto cuando ninguno de sus

puntos frontera pertenece a

A.

Ejemplos:

1.

A = {x ∈ R | 1 < x < 2 } es abierto: sus puntos frontera son x = 1 y x = 2, y

ninguno de estos pertenece a

A.

2.

A = { (x, y) ∈ R

2

| 1 < x < 2 } es abierto: sus puntos frontera son todos

aquellos sobre las rectas

x = 1 y x = 2, y ninguno de estos pertenece a A.

3.

A = { (x, y) ∈ R

2

| 1 < x < 2, y = 0 } no es abierto: todos los puntos de A

son puntos frontera.

58



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