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1.5

Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos, convexos

4.

A = {(x, y) ∈ R

2

| x

2

+ y

2

< 1 } ∪ {(2, 2)} no es abierto: A contiene un punto

frontera, que es el punto

(2, 2).

Teorema. a) La unión de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. b) La

intersección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.

En relación con el inciso b) de este último teorema es importante entender por

qué se requiere que la intersección sea finita, y no infinita, para garantizar que el

conjunto resultante de la unión sea un conjunto abierto. Para ello, considera como

ejemplo el conjunto de intervalos

I

n

definidos por

I

n

=

1

n

,

1

n

,

para todo

n ∈ N. Es claro que cada I

n

es un conjunto abierto; sin embargo la

intersección de todos los conjuntos

I

n

es el conjunto

n∈N

I

n

= I

1

∩ I

2

∩ · · · ∩ I

n

= {0} ,

que no es un conjunto abierto (el único elemento del conjunto es 0, que es un punto

frontera).

Definición. Sea

A ⊂ R

n

. Se dice que

A es un conjunto cerrado si para todo

punto que no pertenece a

A es posible encontrar una vecindad que no contenga

puntos de

A.

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